Enunciado

Nos problemas 7-10, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

8. y 1 2 . d y d x + y 3 2 = 1 , no qual y 0 = 4 .

Passo 1

Então pessoal, esses exercícios sobre equação de Bernoulli possuem um método bem tranquilo de resolução, basta que tenhamos atenção com algumas coisinhas! Quando utilizamos o método? Sempre que tivermos uma equação diferencial do tipo:

d y d x + P . y = Q . y n

No qual n ≠ 0   e   n ≠ 1 , aplicaremos esse método. Em outras palavras, o que queremos fazer é transformar uma equação diferencial que não é linear, em uma equação diferencial LINEAR, conforme estudamos na seção passada.

O que vamos fazer é realizar uma substituição do tipo:

w = y 1 - n

Depois derivar e substituir na equação diferencial original e resolver para w , tudo bem? Show!

Ah! Vale ressaltar que depois que linearizarmos a equação diferencial, devemos utilizar a solução geral que já conhecemos, que é:

w = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais.

Por fora: po, tranquilão!

Por dentro:

Mas vamo que vamo!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

y 1 2 . d y d x + y 3 2 = 1

Como queremos escrever a equação no formato:

d y d x + P . y = Q . y n

Teremos:

d y d x + y = y - 1 2

Ok, missão cumprida! Agora fazendo a substituição:

w = y 1 - n = y 1 - - 1 2

w = y 3 2 ⇒ y = w 2 3

Derivando em relação a x , obteremos:

d y d x = 2 3 w - 1 3 . d w d x

Top, top!

Passo 3

Agora que já fizemos a substituição adequada e encontramos a derivada associada, vamos substituir os resultados na nossa equação diferencial original, que é:

d y d x + y = y - 1 2

2 3 w - 1 3 . d w d x + w 2 3 = w - 1 3

Simplificando, teremos:

2 3 . d w d x + w = 1

d w d x + 3 2 w = 3 2

E então tiramos que:

P x = 3 2

Q x = 3 2

Passo 4

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

w = e - ∫ 3 2 d x . 3 2 ∫ e ∫ 3 2 d x d x + c

Para a integral do expoente, teremos:

∫ 3 2 d x = 3 2 x

Substituindo:

w = e - 3 2 x . 3 2 ∫ e 3 2 x d x + c

Agora precisamos resolver essa última integral que aparece aí na solução. Temos que:

∫ e 3 2 x = 2 3 e 3 2 x

Substituindo:

w = e - 3 2 x . 3 2 . 2 3 e 3 2 x + c

∴ w = 1 + c e 3 2 x

Beleza! Resolvemos as integrais e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!

Passo 5

O resultado que encontramos está como w x e queremos o resultado como y x , certo? Lá no passo 2 a substituição que fizemos foi:

w = y 3 2 ⇒ y = w 2 3

Voltando para a variável y , teremos:

w = 1 + c e 2 3 x

y 3 2 = 1 + c e 3 2 x

∴ y = 1 + c e 3 2 x 2 3

Note que aparece uma constante arbitrária que, a princípio, não conseguimos determinar o valor. No entanto, nessa questão o enunciado nos dá um ponto que permite que encontremos o valor de c . Aplicando o ponto dado que é y 0 = 4 , teremos:

4 = 1 + c e 0 2 3

4 3 2 = 1 + c

∴ c = 7

Sendo assim, nosso resultado para a condição inicial dada será:

y = 1 + 7 e 3 2 x 2 3

E está aí a resolução! 😉

Resposta

y = 1 + 7 e 3 2 x 2 3

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