Enunciado

Nos problemas 7-10, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

10. 2 . d y d x = y x - x y 2 , no qual y 1 = 1 .

Passo 1

Então pessoal, esses exercícios sobre equação de Bernoulli possuem um método bem tranquilo de resolução, basta que tenhamos atenção com algumas coisinhas! Quando utilizamos o método? Sempre que tivermos uma equação diferencial do tipo:

d y d x + P . y = Q . y n

No qual n ≠ 0   e   n ≠ 1 , aplicaremos esse método. Em outras palavras, o que queremos fazer é transformar uma equação diferencial que não é linear, em uma equação diferencial LINEAR, conforme estudamos na seção passada.

O que vamos fazer é realizar uma substituição do tipo:

w = y 1 - n

Depois derivar e substituir na equação diferencial original e resolver para w , tudo bem? Show!

Ah! Vale ressaltar que depois que linearizarmos a equação diferencial, devemos utilizar a solução geral que já conhecemos, que é:

w = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais.

Por fora: po, tranquilão!

Por dentro:

Mas vamo que vamo!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

2 . d y d x = y x - x y 2

Como queremos escrever a equação no formato:

d y d x + P . y = Q . y n

Teremos:

d y d x - 1 2 x y = - x 2 y - 2

Ok, missão cumprida! Agora fazendo a substituição:

w = y 1 - n = y 1 - - 2

w = y 3 ⇒ y = w 1 3

Derivando em relação a x , obteremos:

d y d x = 1 3 w - 2 3 . d w d x

Top, top!

Passo 3

Agora que já fizemos a substituição adequada e encontramos a derivada associada, vamos substituir os resultados na nossa equação diferencial original, que é:

d y d x - 1 2 x y = - x 2 y - 2

1 3 w - 2 3 . d w d x - 1 2 x w 1 3 = - x 2 w - 2 3

Simplificando, teremos:

1 3 . d w d x - 1 2 x w = - x 2

d w d x - 3 2 x w = - 3 x 2

E então tiramos que:

P x = - 3 2 x

Q x = - 3 x 2

Passo 4

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

w = e ∫ 3 2 x d x . ∫ e - ∫ 3 2 x d x . - 3 x 2 d x + c

w = e ∫ 3 2 x d x . - 3 2 ∫ e - ∫ 3 2 x d x . x d x + c

Para a integral do expoente, teremos:

∫ 3 2 x d x = 3 2 ln ⁡ x

Substituindo:

w = e 3 2 ln ⁡ x . - 3 2 ∫ e - 3 2 ln ⁡ x . x d x + c

Simplificando:

w = x 3 2 . - 3 2 ∫ 1 x 3 2 . x d x + c

w = x 3 2 . - 3 2 ∫ x - 1 2 d x + c

Agora precisamos resolver essa última integral que aparece aí na solução. Temos que:

∫ x 1 2 d x = 2 x 1 2

Substituindo:

w = x 3 2 . - 3 2 . 2 x 1 2 + c

∴ w = - 3 x 2 + c x 3 2

Beleza! Resolvemos as integrais e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!

Passo 5

O resultado que encontramos está como w x e queremos o resultado como y x , certo? Lá no passo 2 a substituição que fizemos foi:

w = y 3 ⇒ y = w 1 3

Voltando para a variável y , teremos:

w = - 3 x 2 + c x 3 2

y 3 = - 3 x 2 + c x 3 2

∴ y = - 3 x 2 + c x 3 2 1 3

Note que aparece uma constante arbitrária que, a princípio, não conseguimos determinar o valor. No entanto, nessa questão o enunciado nos dá um ponto que permite que encontremos o valor de c . Aplicando o ponto dado que é y 1 = 1 , teremos:

1 = - 3 + c 1 3

c = 3 + 1

∴ c = 4

Sendo assim, nosso resultado para a condição inicial dada será:

y = - 3 x 2 + 4 x 3 2 1 3

E está aí a resolução! 😉

Resposta

y = - 3 x 2 + 4 x 3 2 1 3

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