Enunciado

Esboce a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.

r 2 = 8 cos ⁡ 2 θ ,               r = 2

Passo 1

O problema pede para acharmos a área da região dentro da curva r 2 = 8 cos ⁡ 2 θ e fora da curva r = 2 . Note que a primeira curva pode ser escrita como

r = ± 8 cos ⁡ 2 θ

Assim, devemos ter

cos ⁡ 2 θ ≥ 0 ⇒ - π 2 ≤ 2 θ ≤ π 2 ⇒ - π 4 ≤ θ ≤ π 4

Como a primeiro curva tem duas partes, com r > 0 e r < 0 , ela terá dois laços simétricos. Já a segunda curva é o círculo de raio 2 :

Como a figura é simétrica, vamos calcular a área da região da direita e multiplicar por 2 . Para isso, precisamos achar onde as curvas se encontram:

r 2 = 8 cos ⁡ 2 θ r = 2

Obtemos

8 cos ⁡ 2 θ = 4 ⇒ cos ⁡ 2 θ = 1 2 ⇒ 2 θ = ± π 3 ⇒ θ = ± π 6

Passo 2

Como temos que fazer a área entre as curvas, fazemos a área da curva de fora menos a de dentro:

A f o r a = ∫ - π / 6 π / 6 1 2 8 cos ⁡ 2 θ 2 d θ = 4 ∫ - π / 6 π / 6 cos ⁡ 2 θ   d θ = 4   1 2 s e n   2 θ - π / 6 π / 6

Assim,

A f o r a = 2   s e n π 3 - s e n   - π 3 = 2 3 2 + 3 2 = 2 3

Já da curva de dentro:

A d e n t r o = ∫ - π / 6 π / 6 1 2 2 2 d θ = 2 ⋅ π 6 - - π 6 = 2 π 3

A área pedida é

A = 2   A f o r a - A d e n t r o

Assim,

A = 2   2 3 - 2 π 3

Logo,

A = 4 3 - 4 π 3

Resposta

A = 4 3 - 4 π 3

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