Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.3 - Ex. 5
Esboce a área representada por . A seguir, encontre de duas maneiras: (a) utilizando a Parte do Teorema Fundamental e (b) calculando a integral usando a Parte e então derivando.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... queremos esboçar a seguinte função :
Em seguida, devemos encontrar a derivada pela Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo e pela Parte 2.
Bora relembrar esse Teorema!!
Parte 1:
Se for contínua em , então a função definida por
É contínua em e derivável em e .
Parte 2:
Se for contínua em , então
Onde é qualquer primitiva de , isto é, uma função tal que .
Agora bora aplicar!! 😉
Passo 2
O gráfico da área representada por é a parte abaixo da função entre e :
Passo 3
- Vamos achar pela Parte do Teorema Fundamental que nos diz que:
- Pela Parte vamos calcular a integral:
é contínua em e derivável em e .
Assim temos que e assim:
Passo 4
Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.
É simples achar as primitivas da função, vamos usar uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Assim:
Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Assim ficamos com:
Achando a derivada agora:
Resposta
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