Enunciado

Esboce a área representada por g x . A seguir, encontre g ' x de duas maneiras: (a) utilizando a Parte 1 do Teorema Fundamental e (b) calculando a integral usando a Parte 2 e então derivando.

g x = ∫ 1 x t 2 d t

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos esboçar a seguinte função g x :

g x = ∫ 1 x t 2 d t

Em seguida, devemos encontrar a derivada g ' x pela Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo e pela Parte 2.

Bora relembrar esse Teorema!!

Parte 1:

Se f for contínua em a , b , então a função g definida por

g x = ∫ a x f t d t                                 a ≤ x ≤ b

É contínua em a , b e derivável em a , b e g ' x = f x .

Parte 2:

Se f for contínua em a , b , então

∫ a b f x d x = F b - F a

Onde F é qualquer primitiva de f , isto é, uma função tal que F ' = f .

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

O gráfico da área representada por g x é a parte abaixo da função y = t 2 entre t = 1 e t = x :

Passo 3

  1. Vamos achar g ' x pela Parte 1 do Teorema Fundamental que nos diz que:
  2. g x = ∫ a x f t d t             a ≤ x ≤ b

    é contínua em a , b e derivável em a , b e g ' x = f x .

    Assim temos que a = 1 e assim:

    g ' x = f x = x 2

    Passo 4

  3. Pela Parte 2 vamos calcular a integral:

∫ 1 x t 2 d t

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

É simples achar as primitivas da função, vamos usar uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Assim:

∫ t 2 d t = t 2 + 1 2 + 1 + C = t 3 3 + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Assim ficamos com:

∫ 1 x t 2 d t = t 3 3 1 x = x 3 3 - 1 3 3 = x 3 3 - 1 3

Achando a derivada agora:

g ' x = x 3 3 - 1 3 ' = 3 x 3 - 1 3 - 0 = x 2

Resposta

  1. g ' x = x 2
  2. g ' x = x 2
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Ache a soma: ∑ i = 1 100 2 i ( i 3 - 1 )
Determine a derivada no Exercício d d x ∫ 0 x 3 e - td t a. calculando a integral e derivando o resultado. b. derivando a integral diretamente.
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