Enunciado

Esboce os círculos nos Exercícios 53-56. Dê coordenadas polares para seus centros e identifique seus raios.

r = - 8 s en ⁡ θ

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Neste problema, nosso objetivo usar as relações a seguir para transformar os círculos de coordenadas polares para coordenadas cartesianas.

r 2 = x 2 + y 2 ,   x = r cos ⁡ θ     e     y = r sen ⁡ θ

Em seguida, a partir da equação cartesiana, obter o centro e o raio e convertê-los para coordenadas polares. Ah, e não podemos esquecer de esboçar o gráfico.

Simbora?

Passo 2

Vamos começar multiplicando ambos os lados da equação por r:

r 2 = - 8 r s en ⁡ θ

Usando as relações citadas no passo 1, temos:

x 2   + y 2 = - 8 y

x 2   + y 2 + 8 y = 0

Vamos usar o método de completar quadrados somando 16 em ambos os lados da igualdade, assim:

x 2   + y 2 + 8 y + 16 = 1 6

Usando a fatoração do produto notável, temos:

x 2   + ( y + 4 ) 2 = 1

Uma vez que a equação geral de uma circunferência é dada por:

x - x c 2 + y - y c 2 = r 2

Onde ( x c , y c ) são as coordenadas do centro e r o seu raio.

Temos então:

Centro: ( 0 , - 4 ) e Raio: r = 4

Passo 3

Porém estas coordenadas não estão no formato polar, vamos convertê-las.

Sendo r 2 = x 2 + y 2   e   θ = tan ⁡ y x , temos que:

Para ( 0 , - 4 ) , então:

r 2 = 0 2 + ( - 4 ) 2   ⟹ r = 0 + 16 ⟹ r = 4

θ = tan ⁡ - 4 0   ⟹ θ = tan ⁡ ∞ ⟹ θ = 3 π 2

Logo, seu raio é r = 4 e o centro r , θ = ( 4 , 3 π 2 )

Por fim, seu gráfico terá o seguinte formato:

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Raio: r = 4 . Centro: r , θ = ( 4 , 3 π 2 ) .

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