Enunciado

Esboce a curva e calcule a área delimitada por ela.

r = 3 + 2 cos ⁡ θ

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado é bem direto aqui!! A gente quer esboçar a seguinte curva e calcular a área dela:

r = 3 + 2 cos ⁡ θ

Lembra de como encontramos a área A de uma curva polar?? Assim, olha:

A = ∫ 1 2 r 2 d θ

A gente vai determinar os limites de integração ao analisar seu gráfico, certinho?? Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos plotar o nosso gráfico... mas vamos começar assim: primeiramente vamos plotar no plano cartesiano para entendermos melhor, certinho??

A nossa curva r = 3 + 2 cos ⁡ θ é bem parecida com a curva do cosseno.

Mas, analisando a diferença entre as duas, temos que a nossa tem uma soma em 3 unidades (o que faz “subir” o gráfico em 3 unidades) e o cosseno está multiplicado por 2 (o que faz a amplitude dele dobrar).

Assim, temos:

Passando para o plano polar, no primeiro quadrante, podemos ver que ele sai do ponto 5 , 0 e vai para o ponto 0 , π 2 , ou seja, ele diminui sua amplitude de 5 para 3 da seguinte forma:

No segundo quadrante, ele fecha o quadrante com amplitude 1 , ou seja, no ponto 1 , π :

Já no terceiro quadrante ele torna a aumentar a sua amplitude em 3 unidades:

Por fim, ele retorna ao ponto inicial com amplitude 5 . Assim, temos a seguinte curva:

Lembrando que como estamos utilizando coordenadas polares os valores de r são positivos.

Passo 3

Agora vamos calcular nossa área!!

Quando calculamos a integral de uma curva, o resultado da integral fornece extamente a área da curva.

Vamos então integrar a fórmula para a área de uma região cuja fronteira é dada por uma equação polar.

A = ∫ 1 2 r 2 d θ

Os limites de integração podemos encontrar a partir do gráfico.

A linha que forma a fronteira do gráfico começa em ( - 1 ,   π ) e da uma volta inteira, ou seja, percorreu um ângulo θ = 2 π   r a d .

Passo 4

Aplicando os limites de integração   0 ≤ θ ≤ 2 π e substituindo r = 3 + 2   c o s   θ , obtemos:

A = ∫ 0 2 π 1 2 3 + 2 cos ⁡ θ 2 d θ

Aplicando o produto notável e fazendo a multilplicação por 1 / 2 , temos:

A = 1 2 ∫ 0 2 π ( 9 + 12   c o s   θ + 4 c o s ² θ )   d θ  

Podemos usar a propriedade trigonométrica: c o s 2 θ = 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ

A = 1 2 ∫ 0 2 π 9 + 12 cos ⁡ θ + 4 2 1 + cos ⁡ 2 θ d θ ∴

A = 1 2 ∫ 0 2 π 11 + 12   c o s   θ + 2 cos ⁡ 2 θ   d θ

Resolvendo a integral:

A = 1 2 ∙ 11 θ + 12 s e n   θ + s e n   2 θ 0 2 π

Aplicando os limites de integração:

A = 1 2 ∙ 11 ∙ 2 π - 0 - 0 - 0 - 0 - 0

A = 11 π

Resposta

A = 11 π

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