Enunciado

  1. Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:
  2. Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.

x = s e c ⁡ θ

y = tan ⁡ θ

- π 2 < θ < π 2

Passo 1

a )

Para “isolar” o parâmetro no caso em que temos secante e tangente, usamos uma das relações fundamentais da trigonometria:

1 + tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ

Assim

1 + y 2 = x 2

x 2 - y 2 = 1

Que é a equação de uma hipérbole, “olhando” para o eixo y .

Porém, o intervalo de parametrização é

- π 2 < θ < π 2

Portanto não estamos falando da hipérbole inteira, apenas de uma parte dela. Vamos descobrir que parte agora.

Passo 2

b )

No intervalo

- π 2 < θ < π 2

Temos que

sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ ≥ 0

Logo

x = sec ⁡ θ ≥ 0

Portanto, estamos falando do ramo da hipérbole que está na parte positiva do eixo x .

Além disso, essa hipérbole tem foco no ponto ( 1,0 ) .

Passo 3

Traçando nossa curva, temos

Resposta

a )

x 2 - y 2 = 1

b )

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