Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:

y = (x^2 - 4)/(x^2 - 2 x)

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente esboçar o gráfico de y = (x^2 - 4)/(x^2 - 2 x) , usando o roteiro dessa seção.

Esse roteiro consiste em definir o domínio da função, determinar as interseções com os eixos, verificar se a função possui simetrias ou assíntotas, definir intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de máximo e mínimo e sua concavidade.

Vamos lá!

Passo 2

O primeiro passo é definir o domínio D de f , isto é, o conjunto dos valores de x para os quais f ( x ) está definida.

Como temos um quociente, o denominador não é definido se for igual a zero, então podemos escrever que:

x^2 - 2 x != 0

Colocando x em evidência:

=> x (x - 2) != 0

Dessa forma, temos:

=> x != 0 e x != 2

E o nosso domínio é definido por:

D = { x in I R | x != 0 e x != 2 }

Passo 3

Agora devemos definir as intersecções com os eixos.

Para o eixo y a interseção é dada por f ( 0 ) e para o eixo x fazemos y = 0 e isolamos o x . Assim, temos que:

f (0) n ã o e s t á d e f i n i d a

Porque o denominador não pode zerar. E para y = 0 , temos:

0 = (x^2 - 4)/(x^2 - 2 x)

Fatorando o numerador:

=> ((x - 2) (x + 2))/(x (x - 2)) = 0

E simplificando:

=> (x + 2)/(x) = 0

=> x + 2 = 0

=> x = - 2

Então, x = - 2 é um ponto de interseção com o eixo x .

Passo 4

Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:

  1. Se f (- x) = f ( x ) para todo x em D , f é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo y . Caso isso ocorra basta refletir a curva x >= 0 em torno do eixo y para obter a curva completa.
  2. Se f (- x) = - f (x) para todo x em D , f é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva x >= 0 em 180 g r a u s em torno da origem para obter a curva completa.
  3. Se f (x + p) = f ( x ) para todo x em D , onde p é uma constante positiva, f é uma função periódica e o menor desses números p é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.

Para esta função, tomando x = 1 , temos:

  1. f (- 1) = f (1) => ((- 1)^2 - 4)/((- 1)^2 - 2 ( - 1 )) = ((1)^2 - 4)/((1)^2 - 2 ( 1 )) => - 1 != 3
  2. f (- 1) = - f (1) => ((- 1)^2 - 4)/((- 1)^2 - 2 (- 1)) = - (((1)^2 - 4)/((1)^2 - 2 (1))) => - 1 != - 3
  3. Não possui período.

Logo como não satisfaz nenhum dos casos, f não possui simetria.

Passo 5

Devemos verificar agora se a função f possui assíntotas:

Para verificar se existem assíntotas horizontais, precisamos calcular os limites da nossa função para mais ou menos infinito. Se esse resultado for um valor constante, então esse valor será uma assíntota horizontal da função.

Assim, vamos calcular:

underset(x -> +- oo)(lim) (x^2 - 4)/(x^2 - 2 x)

Dividindo pelo termo de maior potência:

underset(x -> +- oo)(l i m) (x^2 (1 - (4)/(x^2)))/(x^2 (1 - (2)/(x)))

E simplificando:

= underset(x -> +- oo)(l i m) (1 - (4)/(x^2))/(1 - (2)/(x))

Dessa forma, aplicando o limite, temos:

= 1

Assim, temos uma assíntota horizontal em 1 .

Agora, como a nossa função não está definida para x = 0 , vamos verificar se existe uma assíntota vertical, calculando o limite de x tendendo para esse valor. Assim, temos:

underset(x -> 0)(l i m) (x^2 - 4)/(x^2 - 2 x) = underset(x -> 0)(l i m) ((x - 2) (x + 2))/(x (x - 2))

Simplificando:

underset(x -> 0)(l i m) (x + 2)/(x) = underset(x -> 0)(l i m) (x (1 + (2)/(x)))/(x)

E aplicando o limite:

= 1 + (2)/(x) = oo

Como esse limite explode pra infinito, significa que temos uma assíntota vertical em x = 0 .

Da mesma forma, a gente poderia verificar se x = 2 (que é um ponto problemático da nossa função) também é uma assíntota. Assim, calculamos o limite:

underset(x -> 2)(l i m) (x^2 - 4)/(x^2 - 2 x) = underset(x -> 2)(l i m) ((x - 2) (x + 2))/(x (x - 2))

underset(x -> 2)(l i m) (x (1 + (2)/(x)))/(x) = underset(x -> 2)(l i m) 1 + (2)/(x) = 2

Logo, x = 2 não é uma assíntota vertical.

Passo 6

O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos f ' ( x ) e encontramos os intervalos nos quais f ' ( x ) é positiva ( f é crescente) e os intervalos nos quais f ' ( x ) é negativa ( f é decrescente).

Aplicando a regra do quociente na forma simplificada da função y = (x + 2)/(x) , temos:

f^' (x) = (x - ( x + 2 ))/(x^2) = (- 2)/(x^2) < 0 [ x != 0,2 ]

Logo, f é crescente para ( - oo , 0 ) , ( 0,2 ) e (2 , oo) .

Passo 7

Calcularemos agora os pontos críticos, números c em que f ' (c) = 0 ou f^' (c) n ã o e x i s t e . Aplicando o Teste da Derivada, se f ' ( x ) muda de positiva para negativa em um número crítico c , então f ( c ) é um máximo local. Se f ' ( x ) muda de negativa para positiva em c , então f ( c ) é um mínimo local.

Temos que:

f^' (x) = 0

=> (- 2)/(x^2) = 0

Observamos que a equação é satisfeita para x = 0 e esse ponto não está definido na função, logo a função não possui pontos extremos.

Passo 8

Calcularemos agora a concavidade da função f utilizando f ' ' ( x ) . Pra isso, precisamos ter em mente que se f^(' ') (x) > 0 , a função é côncava para cima, e se f^(' ') (x) < 0 , a função é côncava para baixo.

Assim temos que:

f^(' ') (x) = (4)/(x^2) > 0

Então f é côncava para cima com x no intervalo de ( - oo , 0 ) e côncava para baixo com x no intervalo de ( 2 , oo ) .

Passo 9

Por fim, esboçando a curva obtemos:

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

G r á f i c o n o s p a s s o s

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