Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 11
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:
Passo 1
Falaeee, belezinha?? A questão quer que esbocemos a seguinte curva:
Para isso, devemos seguir alguns passos:
- Verificar o domínio da função;
- Interseções com os eixos;
- Verificar simetria da função;
- Verificar assíntotas;
- Verificar intervalos de crescimento e decrescimento;
- Verificar pontos críticos;
- Verificar concavidade.
Muita coisa, né? Então vamos devagarinho que vai dar tuudo certo!! 😉
Passo 2
O primeiro passo é definir o domínio de , isto é, o conjunto dos valores de para os quais está definida.
Temos neste caso que o denominador não é definido se for igual a zero, então podemos escrever que:
Assim, temos que:
Passo 3
Agora devemos definir as intersecções com os eixos.
Para o eixo a interseção é dada por e para o eixo fazemos e isolamos o .
Assim, temos que:
Como a função não é definida para , temos que o eixo é interceptado somente em .
Passo 4
Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:
- Se para todo em , é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo . Caso isso ocorra basta refletir a curva em torno do eixo para obter a curva completa.
- Se para todo em , é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva em em torno da origem para obter a curva completa.
- Se para todo em , onde é uma constante positiva, é uma função periódica e o menor desses números é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.
Para esta função, tomando um valor qualquer de percebemos que ela não obedece a nenhum caso, logo não possui simetria.
Passo 5
Devemos verificar agora se a função possui assíntotas:
- Assíntota horizontal:
- Assíntota vertical: a reta é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:
Se então a reta é uma assíntota horizontal da curva .
Se resultar que , então não temos uma assíntota à direita.
Temos:
Assim, temos uma assíntota horizontal em .
Tomando , temos:
Logo não é assíntota vertical.
Tomando , temos:
Logo, temos uma assíntota vertical em .
Passo 6
O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função.
Calculamos e encontramos os intervalos nos quais é positiva ( é crescente) e os intervalos nos quais é negativa ( é decrescente).
Derivando a forma já simplificada da função , temos:
Então, é crescente para , e .
Passo 7
Calcularemos agora os pontos críticos, números em que ou não existe.
Aplicando o Teste da Derivada, se muda de positiva para negativa em um número crítico , então é um máximo local.
Se muda de negativa para positiva em , então é um mínimo local.
Temos que:
Observamos que a equação é satisfeita para e esse ponto não está definido na função, logo a função não possui pontos extremos.
Passo 8
Calcularemos agora a concavidade da função utilizando .
Se a função é côncava para cima e se a função é côncava para baixo.
Assim temos que:
Então é côncava para baixo com no intervalo de e côncava para cima com nos intervalos e .
Passo 9
Por fim, esboçando a curva obtemos:
Entendeu direitinho?? Responde aee😉
Resposta
eixo é interceptado somente em
não possui simetria
temos uma assíntota horizontal em e uma assíntota vertical em
é crescente para , e
a função não possui pontos extremos
é côncava para baixo com no intervalo de e côncava para cima com nos intervalos e