Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:

y = (x - x^2)/(2 - 3 x + x^2)

Passo 1

Falaeee, belezinha?? A questão quer que esbocemos a seguinte curva:

y = (x - x^2)/(2 - 3 x + x^2)

Para isso, devemos seguir alguns passos:

  1. Verificar o domínio da função;
  2. Interseções com os eixos;
  3. Verificar simetria da função;
  4. Verificar assíntotas;
  5. Verificar intervalos de crescimento e decrescimento;
  6. Verificar pontos críticos;
  7. Verificar concavidade.

Muita coisa, né? Então vamos devagarinho que vai dar tuudo certo!! 😉

Passo 2

O primeiro passo é definir o domínio D de f , isto é, o conjunto dos valores de x para os quais f ( x ) está definida.

Temos neste caso que o denominador não é definido se for igual a zero, então podemos escrever que:

2 - 3 x + x^2 != 0 => ( x - 1 ) (x - 2) != 0 => x != 1 e x != 2

Assim, temos que:

D = { x in R | x != 1 e x != 2 }

Passo 3

Agora devemos definir as intersecções com os eixos.

Para o eixo y a interseção é dada por f ( 0 ) e para o eixo x fazemos y = 0 e isolamos o x .

Assim, temos que:

f (0) = 0

0 = (x - x^2)/(2 - 3 x + x^2) :.

x (1 - x) = 0 :.

x = 0 e 1 - x = 0 => x = 1

Como a função não é definida para x = 1 , temos que o eixo x é interceptado somente em 0 .

Passo 4

Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:

  1. Se f (- x) = f ( x ) para todo x em D , f é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo y . Caso isso ocorra basta refletir a curva x >= 0 em torno do eixo y para obter a curva completa.
  2. Se f (- x) = - f (x) para todo x em D , f é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva x >= 0 em 180 g r a u s em torno da origem para obter a curva completa.
  3. Se f (x + p) = f ( x ) para todo x em D , onde p é uma constante positiva, f é uma função periódica e o menor desses números p é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.

Para esta função, tomando um valor qualquer de x percebemos que ela não obedece a nenhum caso, logo não possui simetria.

Passo 5

Devemos verificar agora se a função f possui assíntotas:

  1. Assíntota horizontal:
  2. Se f (x) = L e f (x) = L , então a reta y = L é uma assíntota horizontal da curva y = f ( x ) .

    Se resultar que f (x) = oo ( o u - oo ) , então não temos uma assíntota à direita.

  3. Assíntota vertical: a reta x = a é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:

f (x) = oo f (x) = oo

f (x) = - oo f (x) = - oo

Temos:

(x - x^2)/(2 - 3 x + x^2) = (x^2 ((1)/(x) - 1))/(x^2 ((2)/(x^2) - (3)/(x) + 1)) = ((1)/(x) - 1)/((2)/(x^2) - (3)/(x) + 1) = - 1

(x - x^2)/(2 - 3 x + x^2) = (x^2 ((1)/(x) - 1))/(x^2 ((2)/(x^2) - (3)/(x) + 1)) = ((1)/(x) - 1)/((2)/(x^2) - (3)/(x) + 1) = - 1

Assim, temos uma assíntota horizontal em - 1 .

Tomando x = 1 , temos:

(x - x^2)/(2 - 3 x + x^2) = (x ( 1 - x ))/(( 1 - x ) ( 2 - x )) = (x)/(2 - x) = 1

Logo não é assíntota vertical.

Tomando x = 2 , temos:

(x - x^2)/(2 - 3 x + x^2) = (x)/(2 - x) = oo

Logo, temos uma assíntota vertical em 2 .

Passo 6

O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função.

Calculamos f ' ( x ) e encontramos os intervalos nos quais f ' ( x ) é positiva ( f é crescente) e os intervalos nos quais f ' ( x ) é negativa ( f é decrescente).

Derivando a forma já simplificada da função y = (x)/(2 - x) , temos:

f^' (x) = ((2 - x) - (- x))/((2 - x)^2) = (2)/((2 - x)^2) > 0 [ x != 1,2 ]

Então, f é crescente para (- oo , 1) , ( 1,2 ) e (2 , oo) .

Passo 7

Calcularemos agora os pontos críticos, números c em que f ' (c) = 0 ou f^' (c) não existe.

Aplicando o Teste da Derivada, se f ' ( x ) muda de positiva para negativa em um número crítico c , então f ( c ) é um máximo local.

Se f ' ( x ) muda de negativa para positiva em c , então f ( c ) é um mínimo local.

Temos que:

f^' (x) = 0 => (2)/((2 - x)^2) = 0

Observamos que a equação é satisfeita para x = 2 e esse ponto não está definido na função, logo a função não possui pontos extremos.

Passo 8

Calcularemos agora a concavidade da função f utilizando f ' ' ( x ) .

Se f^(' ') (x) > 0 a função é côncava para cima e se f^(' ') (x) < 0 a função é côncava para baixo.

Assim temos que:

f^' (x) = (2)/((2 - x)^2) :.

f^(' ') (x) = (- 4 (2 - x) (- 1))/((2 - x)^4) :.

f^(' ') (x) = (4)/((2 - x)^3) > 0 p a r a x < 2

Então f é côncava para baixo com x no intervalo de ( 2 , oo ) e côncava para cima com x nos intervalos ( - oo , 1 ) e ( 1,2 ) .

Passo 9

Por fim, esboçando a curva obtemos:

Entendeu direitinho?? Responde aee😉

Resposta

D = { x in R | x != 1 e x != 2 }

eixo x é interceptado somente em 0

não possui simetria

temos uma assíntota horizontal em - 1 e uma assíntota vertical em 2

f é crescente para (- oo , 1) , ( 1,2 ) e (2 , oo)

a função não possui pontos extremos

f é côncava para baixo com x no intervalo de ( 2 , oo ) e côncava para cima com x nos intervalos ( - oo , 1 ) e ( 1,2 )

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