Enunciado

Esboce o gráfico.

g (x) = x e^(- 3 x)

Passo 1

Primeiro vamos determinar o domínio, temos aqui que é D_g = R .

Agora vamos achar os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos usar a regra do polinômio, da função exponencial e do produto para achar f^' (x) :

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x)

Vamos então aplicar:

g^' (x) = (x e^(- 3 x))^' = (x)^' (e^(- 3 x)) + (e^(- 3 x))^' (x) = x^(1 - 1) (e^(- 3 x)) + e^(- 3 x) (- 3 x)^' (x) = x^0 (e^(- 3 x)) + e^(- 3 x) (- 3 x^(1 - 1)) (x) = 1 (e^(- 3 x)) + e^(- 3 x) (- 3 x^0) (x) = e^(- 3 x) + e^(- 3 x) (- 3 * 1) (x) = e^(- 3 x) - 3 x e^(- 3 x) = e^(- 3 x) (1 - 3 x)

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de g^' (x) igualando a zero:

e^(- 3 x) (1 - 3 x) = 0 harr 4 x (x^2 - 1) = 0 -> 4 x (x - 1) (x + 1) = 0

Vamos analisar o sinal da expressão, e^(- 3 x) vai ser sempre positivo:

Para 1 - 3 x temos:

A expressão assume valores negativos quando x > (1)/(3) e assume valores positivos quando x < (1)/(3) .

Temos que g^' (x) > 0 em:

]- oo , (1)/(3)]

E g^' (x) < 0 em:

[(1)/(3) , + oo[

Como g é contínua temos que:

g é estritamente crescente em ]- oo , (1)/(3)]

g é estritamente decrescente em [(1)/(3) , + oo[

Passo 3

Vamos achar os pontos de inflexão e como se comporta a concavidade através de g^(' ') (x) :

g^(' ') (x) = g^' (g^' (x)) = (e^(- 3 x) (1 - 3 x))^' = (e^(- 3 x))^' (1 - 3 x) + (1 - 3 x)^' (e^(- 3 x)) = e^(- 3 x) (- 3 x^(1 - 1)) (1 - 3 x) + (0 - 3 x^(1 - 1)) (e^(- 3 x)) = e^(- 3 x) (- 3) (1 - 3 x) + (- 3) (e^(- 3 x)) = - 3 e^(- 3 x) (1 - 3 x) - 3 e^(- 3 x) = 3 e^(- 3 x) (- 1 - 1 + 3 x) = 3 e^(- 3 x) (- 2 + 3 x)

Igualando a 0 :

3 e^(- 3 x) (- 2 + 3 x) = 0

Vamos analisar agora o sinal de g^(' ') (x) , 3 e^(- 3 x) vai ser sempre positivo:

Para - 2 + 3 x temos:

A expressão assume valores negativos quando x < (2)/(3) e assume valores positivos quando x > (2)/(3) .

g^(' ') (x) > 0 em x > (2)/(3) , tendo a concavidade voltada para cima, e g (x) < 0 em x < (2)/(3) , tendo a concavidade voltada para baixo.

O ponto de inflexão é em (2)/(3) , pois nesse ponto há uma mudança de concavidade.

Passo 4

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de g para x -> + oo e x -> - oo :

underset(x -> + oo)(lim) x e^(- 3 x) = 0

underset(x -> - oo)(lim) x e^(- 3 x) = - oo

Passo 5

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

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