Esboce o gráfico.

g(x) = x \* e^(-3x)

Passo 1

Primeiro vamos determinar o domínio, temos aqui que é D g = R .

Agora vamos achar os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos usar a regra do polinômio, da função exponencial e do produto para achar f ' x :

x n ' = n x n - 1

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f x

Vamos então aplicar:

g ' x = x e - 3 x ' = x ' e - 3 x + e - 3 x ' x = x 1 - 1 e - 3 x + e - 3 x - 3 x ' x = x 0 e - 3 x + e - 3 x - 3 x 1 - 1 x = 1 e - 3 x + e - 3 x - 3 x 0 x = e - 3 x + e - 3 x - 3 ⋅ 1 x = e - 3 x - 3 x e - 3 x = e - 3 x 1 - 3 x

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de g ' x igualando a zero:

e - 3 x 1 - 3 x = 0 ↔ 4 x x 2 - 1 = 0 → 4 x x - 1 x + 1 = 0

Vamos analisar o sinal da expressão, e - 3 x vai ser sempre positivo:

Para 1 - 3 x temos:

A expressão assume valores negativos quando x > 1 3 e assume valores positivos quando x < 1 3 .

Temos que g ' x > 0 em:

- ∞ , 1 3

E g ' x < 0 em:

1 3 , + ∞

Como g é contínua temos que:

g é estritamente crescente em - ∞ , 1 3

g é estritamente decrescente em 1 3 , + ∞

Passo 3

Vamos achar os pontos de inflexão e como se comporta a concavidade através de g ' ' x :

g ' ' x = g ' g ' x = e - 3 x 1 - 3 x ' = e - 3 x ' 1 - 3 x + 1 - 3 x ' e - 3 x = e - 3 x - 3 x 1 - 1 1 - 3 x + 0 - 3 x 1 - 1 e - 3 x = e - 3 x - 3 1 - 3 x + - 3 e - 3 x = - 3 e - 3 x 1 - 3 x - 3 e - 3 x = 3 e - 3 x - 1 - 1 + 3 x = 3 e - 3 x - 2 + 3 x

Igualando a 0 :

3 e - 3 x - 2 + 3 x = 0

Vamos analisar agora o sinal de g ' ' x , 3 e - 3 x vai ser sempre positivo:

Para - 2 + 3 x temos:

A expressão assume valores negativos quando x < 2 3 e assume valores positivos quando x > 2 3 .

g ' ' x > 0 em x > 2 3 , tendo a concavidade voltada para cima, e g x < 0 em x < 2 3 , tendo a concavidade voltada para baixo.

O ponto de inflexão é em 2 3 , pois nesse ponto há uma mudança de concavidade.

Passo 4

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de g para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ x e - 3 x = 0

lim x → - ∞ ⁡ x e - 3 x = - ∞

Passo 5

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

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