Enunciado

Em que pontos a hélice vec r (t) = sen t vec i + cos t vec j + t vec k intercepta a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 5 ?

Passo 1

Nesse exercício, temos que as equações paramétricas para a curva são:

x = s e n t , y = cos t , z = t

Iremos substituir esses valores na equação fornecida para a esfera, sendo assim, temos:

sen^2 t + cos^2 t + t^2 = 5

Passo 2

Da relação fundamental da trigonometria, sabemos que sen^2 alpha + cos^2 alpha = 1 , lançando mão dessa relação na equação obtida no passo 1, ficamos com:

1 + t^2 = 5 -> t^2 = 4

Logo, para a equação ser satisfeita, devemos ter t = - 2 ou t = 2 .

Passo 3

Substituindo os valores de t encontrados no passo 2 na equação da hélice, obteremos os pontos de interseção:

vec r (- 2) = sen - 2 vec i + cos - 2 vec j - 2 vec k -> vec r (- 2) = - 0,909 vec i - 0,416 vec j - 2 vec k

vec r (2) = sen 2 vec i + cos 2 vec j + 2 vec k -> vec r (2) = 0,909 vec i - 0,416 vec j + 2 vec k

Sendo assim, os pontos de interseção são ( - 0 , 909 ; - 0,416 ; - 2 ) e ( 0,909 ; - 0,416 ; 2 ) .

Resposta

( - 0,909 ; - 0,416 ; - 2 )

( 0,909 ; - 0,416 ; 2 )

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