Enunciado

Esboce o gráfico de um exemplo de função f que satisfaça todas as condições dadas.

lim x → 0 - ⁡ f x = 1                   lim x → 0 + ⁡ f x = - 1               lim x → 2 - ⁡ f x = 0

lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = 1                   f 2 = 1                   f 0   n ã o   e s t á   d e f i n i d o

Passo 1

Beleza, meu nobre.

Aqui iremos desenhar um gráfico de uma função que seja capaz de satisfazer todas as condições dadas. Essa função deve ter:

lim x → 0 - ⁡ f x = 1                   lim x → 0 + ⁡ f x = - 1               lim x → 2 - ⁡ f x = 0

lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = 1                   f 2 = 1                   f 0   n ã o   e s t á   d e f i n i d o

Uma observação é que a função não precisa ser necessariamente definida por apenas uma lei de formação, caso necessário podemos ter diferentes leis para diferentes intervalos.

Passo 2

Bom pessoal, vamos aos limites:

  • lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = 1 Isto quer dizer que quando o x se aproxima do eixo O y pela esquerda, o valor de f ( x ) tende a 1 .
  • lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = - 1 Isto quer dizer que quando o x se aproxima do eixo O y pela direita, o valor de f ( x ) tende a - 1 .
  • lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = 0 Isto quer dizer que quando o x se aproxima de 2 pela esquerda, o valor de f ( x ) tende a 0 .
  • lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = 1 Isto quer dizer que quando o x se aproxima de 2 pela direita, o valor de f ( x ) tende a 1 .

Podemos então esboçar a curva:

Note que as bolinhas brancas no eixo O y indicam a outra condição do enunciado: f 0 não estar definido. Alguma dessas bolinhas seria pintada se fosse o caso de estar definido, assim como pra x = 2 tem bolinha pintada, já que o enunciado define f 2 = 1

Resposta

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Ache, se existirema ) underset(x - 2^+)(lim) ⟦x⟧ ⟦ ⟧b ) underset(x - 2^-)(lim) ⟦x⟧ ⟦ ⟧c ) underset(x - 2)(lim) ⟦x⟧ ⟦ ⟧
F (x) = x - 2 sgn x Lembrando que sgn x é definido como sgn x = {[[-,1,s,e,x,,0],[0,s,e,x,=,0],[1,s,e,x,,0]]) Ache, se existirem:a ) underset(x - 0^+)(lim) F (x) b ) underset(x - 0^-)(lim) F (x) c ) u
Ache, se existirema ) underset(x - 4^+)(lim) ⟦x - 3⟧ ⟦ ⟧b ) underset(x - 4^-)(lim) ⟦x - 3⟧ ⟦ ⟧c ) underset(x - 4)(lim) ⟦x - 3⟧ ⟦ ⟧
h x = sgn ⁡ x - U x Lembrando que sgn ⁡ x é definido como sgn ⁡ x = - 1 s e x0 0 s e x = 0 1 s e x0 E U x é a função escada definida por U x = 0 s e x0 1 s e x ≥ 0 Ache, se existirem: a ) lim x → 0 +
Dada f (x) = {[[3,x,+,2,s,e,x,,4],[5,x,+,k,s,e,4,=,x]]) Ache o valor de k para o qual o underset(x - 4)(lim) f (x) existe.