Enunciado

F (x) = x - 2 sgn x

Lembrando que sgn x é definido como

sgn x = {[[-,1,s,e,x,<,0],[0,s,e,x,=,0],[1,s,e,x,>,0]])

Ache, se existirem:

a ) underset(x -> 0^+)(lim) F (x)

b ) underset(x -> 0^-)(lim) F (x)

c ) underset(x -> 0)(lim) F (x)

Passo 1

Vamos começar fazendo um esboço de F (x) . Para isso temos que entender um pouquinho só como é essa nossa F (x)

O enunciado disse que

F (x) = x - 2 sgn x

Pegando a definição dessa função dois sgn x , temos que fazer x menos o que ele definiu como sgn x

Então, F (x) vai ser

F (x) = {[[x,-,2,(- 1),s,e,x,<,0],[x,-,2.0,s,e,x,=,0],[x,-,2.1,s,e,x,>,0]])

F (x) = {[[x,+,2,s,e,x,<,0],[x,s,e,x,=,0],[x,-,2,s,e,x,>,0]])

Aquele valor em x = 0 , podemos calcular. Isso porque ele deu o valor em um ponto e não em um intervalo.

Então, podemos resumir essa função em

F (x) = {[[x,+,2,s,e,x,<,0],[0,s,e,x,=,0],[x,-,2,s,e,x,>,0]])

Para fazer esse gráfico, devemos fazer a reta x + 2 até x = 0 , e colocar aquela bola aberta no final dela.

Depois, fazemos a reta x - 2 a partir de x = 0 , colocando também a bola aberta em x = 0

E por fim, colocamos uma bola fechada no ponto (0,0) , porque quando x = 0 a função vai ser 0

Passo 2

Letra a )

Agora vamos aos limites que ele pediu

underset(x -> 0^+)(lim) F (x)

Aqui, temos que ver o comportamento da função quando x se aproxima de 0 pela direita. Que é se aproximar de 0 por valores maiores que 0 .

Olhando o gráfico, chegando perto de 0 pela direita, a nossa função se aproxima de - 2 .

Mesmo que ela de fato seja 0 em x = 0 , a reta azul chega muuuuuito perto de - 2 na verdade.

underset(x -> 0^+)(lim) F (x) = - 2

Passo 3

Letra b )

Agora o outro

underset(x -> 0^-)(lim) F (x)

Aqui, temos que ver o comportamento da função quando x se aproxima de 0 pela esquerda. Que é se aproximar de 0 por valores menores que 0 .

Olhando o gráfico, chegando perto de 0 pela esquerda, a nossa função se aproxima de 2 .

Mesmo que ela de fato seja 0 em x = 0 , a reta azul chega muuuuuito perto de 2 na verdade.

underset(x -> 0^-)(lim) F (x) = 2

Passo 4

Letra c )

underset(x -> 0)(lim) F (x)

Para o limite que ele pediu, temos que comparar os limites laterais.

Se eles forem iguais, o limite em 0 vai existir e será esse valor. Se eles forem diferentes o limite não existe.

Pelas letras a e b , os dois limites laterais vão ser - 2 e 2 , respectivamente.

Eles são diferentes, então o limite não existe.

Resposta

a )

underset(x -> 0^+)(lim) F (x) = - 2

b )

underset(x -> 0^-)(lim) F (x) = 2

c )

Não existe o limite

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Calcule, caso exista. Se não existir, justifique. lim x → 1 ⁻ ⁡ x - 1 x - 1 ⁻
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