F(x) = x - 2 \* sgn(x)

Lembrando que sgn x é definido como

sgn ⁡ x = - 1 s e x < 0 0 s e x = 0 1 s e x > 0

Ache, se existirem:

a) lim x → 0 + ⁡ F x

b) lim x → 0 - ⁡ F x

c) lim x → 0 ⁡ F x

Passo 1

Vamos começar fazendo um esboço de F x . Para isso temos que entender um pouquinho só como é essa nossa F x

O enunciado disse que

F x = x - 2 sgn ⁡ x

Pegando a definição dessa função dois sgn ⁡ x , temos que fazer x menos o que ele definiu como sgn ⁡ x

Então, F x vai ser

F x = x - 2 - 1 s e x < 0 x - 2.0 s e x = 0 x - 2.1 s e x > 0

F x = x + 2 s e x < 0 x s e x = 0 x - 2 s e x > 0

Aquele valor em x = 0 , podemos calcular. Isso porque ele deu o valor em um ponto e não em um intervalo.

Então, podemos resumir essa função em

F x = x + 2 s e x < 0 0 s e x = 0 x - 2 s e x > 0

Para fazer esse gráfico, devemos fazer a reta x + 2 até x = 0 , e colocar aquela bola aberta no final dela.

Depois, fazemos a reta x - 2 a partir de x = 0 , colocando também a bola aberta em x = 0

E por fim, colocamos uma bola fechada no ponto 0,0 , porque quando x = 0 a função vai ser 0

Passo 2

Letra a )

Agora vamos aos limites que ele pediu

lim x → 0 + ⁡ F x

Aqui, temos que ver o comportamento da função quando x se aproxima de 0 pela direita. Que é se aproximar de 0 por valores maiores que 0 .

Olhando o gráfico, chegando perto de 0 pela direita, a nossa função se aproxima de - 2 .

Mesmo que ela de fato seja 0 em x = 0 , a reta azul chega muuuuuito perto de - 2 na verdade.

lim x → 0 + ⁡ F x = - 2

Passo 3

Letra b )

Agora o outro

lim x → 0 - ⁡ F x

Aqui, temos que ver o comportamento da função quando x se aproxima de 0 pela esquerda. Que é se aproximar de 0 por valores menores que 0 .

Olhando o gráfico, chegando perto de 0 pela esquerda, a nossa função se aproxima de 2 .

Mesmo que ela de fato seja 0 em x = 0 , a reta azul chega muuuuuito perto de 2 na verdade.

lim x → 0 - ⁡ F x = 2

Passo 4

Letra c )

lim x → 0 ⁡ F x

Para o limite que ele pediu, temos que comparar os limites laterais.

Se eles forem iguais, o limite em 0 vai existir e será esse valor. Se eles forem diferentes o limite não existe.

Pelas letras a e b , os dois limites laterais vão ser - 2 e 2 , respectivamente.

Eles são diferentes, então o limite não existe.

Resposta

a )

lim x → 0 + ⁡ F x = - 2

b )

lim x → 0 - ⁡ F x = 2

c )

Não existe o limite

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