Determine os limites nos Exercícios 23-42.

lim x → - 3 ⁡ 2 - x 2 - 5 x + 3

Passo 1

Galera sempre que tiver que calcular um limite, vamos fazer um combinado: substituir o valor de x na função! Se der um número, esse vai ser o valor do limite.

Passo 2

No nosso caso, o ponto é x = - 3 e a função f x = 2 - x 2 - 5 x + 3 . Então, temos que

f - 3 = 2 - ( - 3 ) 2 - 5 ( - 3 ) + 3 = 2 - 4 0 = 0 0

Passo 3

Como não deu um número, precisamos manipular o limite!

Sempre que tiver uma raiz nós vamos multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado! Para achar o conjugado basta inverter o sinal do termo, ou seja, o conjugado de 2 - x 2 - 5 é:

2 + x 2 - 5

Passo 4

Então vamos fazer a multiplicação e a substituição do numerador pela forma fatorada

lim x → - 3 ⁡ 2 - x 2 - 5 x + 3 ⋅ 2 + x 2 - 5 2 + x 2 - 5 = lim x → - 3 ⁡ ( 2 - x 2 - 5 ) ( 2 + x 2 - 5 ) ( x + 3 ) ( 2 + x 2 - 5 )

Agora vamos olhar para o numerador e vamos precisar lembrar do caso da diferença de quadrados que diz que:

a + b a - b = a 2 - b 2

No nosso caso, comparando as expressões vamos ter que a = 2 e b = x 2 - 5 . Então o numerador vai ficar

2 - x 2 - 5 2 + x 2 - 5 = 2 2 - x 2 - 5 2 = 4 - x 2 - 5 = 9 - x 2

Sempre devemos tentar deixar os termos na forma mais fatorada possível, isso ajuda muito nas contas! Talvez você não esteja vendo, mas 9 - x 2 = 3 2 - x 2 é um caso de diferença de quadrados com a = 3 e b = x , ou seja:

2 - x 2 - 5 2 + x 2 - 5 = 9 - x 2 = 3 + x 3 - x

Passo 5

Vamos juntar tudo então

lim x → - 3 ⁡ ( 2 - x 2 - 5 ) ( 2 + x 2 - 5 ) ( x + 3 ) ( 2 + x 2 - 5 ) = lim x → - 3 ⁡ ( 3 + x ) ( 3 - x ) ( x + 3 ) ( 2 + x 2 - 5 ) = lim x → - 3 ⁡ ( 3 - x ) ( 2 + x 2 - 5 )

Agora sim, podemos substituir o ponto na função:

lim x → - 3 ⁡ ( 3 - x ) ( 2 + x 2 - 5 ) = 3 - ( - 3 ) 2 + - 3 2 - 5 = 6 2 + 4 = 6 4 = 3 2

Resposta

lim x → - 3 ⁡ 2 - x 2 - 5 x + 3 = 3 2

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