Esboce o gráfico da função racional:

y = (x^3 + x - 2) / (x - x^2)

Passo 1

Podemos resolver derivando direto, ou simplificando primeiro. Vamos simplificar. Se dividirmos x 3   + x - 2   por x - x 2   (divisão de polinômio hein...) encontramos quociente - x - 1 e resto 2 x - 2 . Então, podemos reescrever nossa função como:

y =   - x - 1 + 2 x - 2 x - x 2 =   - x - 1 + 2 x - 1 - x - 1 + x =   - x - 1 - 2 x

Primeiramente, vemos que o domínio da função é R - { 0,1 } (não pode zerar o denominador)

Vamos continuar...

Passo 2

Agora a gente encontra a derivada primeira e segunda...

y ' =   - 1 + 2 x 2

y ' ' =   - 4 x 3

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' = 0 → 2 x 2 = 1 → x = ± 2

Pelo teste da derivada segunda: y ' ' 2 =   - 2 2 < 0 e y ' ' - 2 = 2 2 > 0

Então, temos um ponto máximo em ( 2 ,   - 2 - 1 - 2 2 ) e um ponto mínimo ( - 2 ,   2 - 1 - 2 2 ) .

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

y ' =   - 1 + 2 x 2

Sabemos que a função resulta em zero quando x = ± 2 e não está definida em x = 0 .

Vejamos então...

Então, a função é crescente em ( - 2 , 0 ) e em 0 ,   2   e decrescente em ( - ∞ ,   - 2 )   e ( 2 ,   ∞ ) .

Vejamos a concavidade...

Nossa derivada segunda deu y ' ' =   - 4 x 3 .

Vemos então que y ' ' será positiva se x 3 < 0 → x < 0

Então, a concavidade é para baixo em 0 ,   ∞ e para cima em ( - ∞ ,   0 ) .

A função muda a concavidade em x = 0 , porém não temos um ponto no local já que ele não pertence ao domínio.

Vamos ter uma assíntota vertical em x =

Passo 4

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados