Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = 3 s e n x - s e n^3 x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva.

Assim, precisamos encontrar o domínio da função, interseção com eixos, limites no infinito, intervalos de crescimento, pontos críticos, fazer um estuda da concavidade e qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.

Bora lá!! 😉

Passo 2

Como a função seno admite qualquer x real, o domínio da função é real:

D_f = R

Passo 3

Observe que como o seno é periódico e a função dada só depende de s e n x , então a função é periódica de período 2 pi .

Assim, só precisamos nos preocupar com o intervalo 0 <= x <= 2 pi .

Vale observar também que a função é ímpar pois o seno é ímpar.

Passo 4

Vamos achar a interseção com eixo das ordenadas fazendo x = 0 , de modo que y = 0 .

Para as raízes, temos que

3 s e n x - s e n^3 x = 0 => s e n x ( 3 - s e n^2 x ) = 0

Portanto, temos que s e n x = 0 ou s e n^2 x = 3 => s e n x = +- sqrt(3) (o que não é possível pois o seno deve ser menor que 1).

Assim, temos apenas que s e n x = 0 , de modo que no intervalo que estamos considerando, temos apenas x = 0 e x = pi .

Logo, as interseções com os eixos são ( 0,0 ) e ( pi , 0 ) .

Passo 5

Como se trata de uma função trigonométrica pura, não faz sentido falar em assíntotas ou analisar o comportamento no infinito: basta fazer o gráfico no intervalo 0 <= x <= 2 pi e repeti-lo.

Passo 6

Vamos estudar agora o crescimento e decrescimento da curva fazendo a derivada da função:

y ' = 3 c o s x - 3 s e n^2 x c o s x = 3 c o s x ( 1 - s e n^2 x ) = 3 c o s^3 x

Assim, o sinal de y ' será dado pelo sinal de c o s x :

Assim, a função cresce no primeiro e quarto quadrantes, e decresce nos demais. A função terá um máximo local em x = pi // 2 e um mínimo em x = 3 pi // 2 .

No máximo, a função vale 2 e no mínimo, - 2 .

Passo 7

Para a concavidade usaremos a segunda derivada:

y ' ' = 9 c o s^2 x ( - s e n x ) = - 9 s e n x c o s^2 x

Assim, quem vai controlar o sinal da concavidade é o seno pois c o s^2 x >= 0 . Note que o sinal da concavidade será oposto ao sinal do seno.

Desta forma, a concavidade será para cima (positiva) no terceiro e quarto quadrantes, e para baixo (negativa) nos demais.

Passo 8

Com essas informações, temos o nosso gráfico:

Resposta

Fazendo o gráfico no intervalo 0 <= x <= 2 pi e repetindo ele para a reta real toda, temos que:

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Trace ou copie o gráfico da função f dada. (Suponha eixos com a mesma escala.) Use então o método do Exemplo 1 para esboçar o gráfico de f ' .
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