Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:

y = sqrt(x^2 + x) - x

Passo 1

Eaeee, belezinha??? Bom... A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva da seguinte função:

y = sqrt(x^2 + x) - x

Assim, precisamos encontrar o domínio da função, interseção com eixos, limites no infinito, intervalos de crescimento, pontos críticos, fazer um estuda da concavidade e qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.

Eiiita, muita coisa né??? Então vamos com calma que vai dar certo!!!

😉

Passo 2

Nosso primeiro passo é calcular o domínio.

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada para os quais a função produz um resultado válido.

Sabendo disso, é importante observar as restrições que uma função pode ter.

Como nossa raiz não pode ser negativa, temos que:

x^2 + x >= 0 :.

x (x + 1) >= 0 :.

x >= 0 ou x >= - 1

Assim, o domínio é {x in R| x >= 0 ou x >= - 1 } = ( - oo , - 1 ] uu [ 0 , oo ) .

Passo 3

Agora precisamos achar os pontos de interceptação nos eixos.

Fazendo y = 0 , temos o ponto de interceptação no eixo x = 0 .

Assim, a origem é o único ponto em que a função intercepta os eixos x e y .

Passo 4

Vamos verificar se a função é par ou ímpar fazendo f (- x) :

f (- x) = sqrt((- x)^2 + (- x)) - (- x) :.

f (- x) = sqrt(x^2 - x) + x

Vemos que f (x) != f (- x) .

Assim, não há simetria par e nem ímpar na figura.

Passo 5

Para assíntotas horizontais, a gente faz o limite da função para x -> 0 :

underset(x -> oo)(lim) sqrt(x^2 + x) - x = underset(x -> oo)(lim) sqrt(x^2 + x) - x (sqrt(x^2 + x) + x)/(sqrt(x^2 + x) + x) :.

underset(x -> oo)(lim) sqrt(x^2 + x) - x = underset(n -> oo)(lim) (x^2 + x - x^2)/(sqrt(x^2 + x) + x) :.

underset(x -> oo)(lim) sqrt(x^2 + x) - x = underset(n -> oo)(lim) (x // x)/(( sqrt(x^2 + x) + x ) // x) :.

underset(x -> oo)(lim) sqrt(x^2 + x) - x = underset(n -> oo)(lim) (1)/(sqrt(1 + (1)/(x)) + 1) :.

underset(x -> oo)(lim) sqrt(x^2 + x) - x = (1)/(2)

Assim, y = (1)/(2) representa uma assíntota horizontal.

As assíntotas verticais ocorrem quando o denominador da função se anula. Assim, podemos concluir que não há assíntotas verticais!

Passo 6

Encontrando os intervalos de crescimento e decrescimento, a gente deriva a função e verificamos se a derivada é positiva ou negativa em relação ao intervalo.

f (x) = sqrt(x^2 + x) - x

f^' (x) = (1)/(2) (x^2 + x)^(- (1)/(2)) (2 x + 1) - 1

Analisando a derivada, obtemos:

= (2 x + 1)/(2 sqrt(x^2 + x)) - 1 > 0

2 x + 1 > 2 sqrt(x^2 + x)

x + (1)/(2) > sqrt((x + (1)/(2))^2 - ((1)/(4)))

Devemos ter em mente que o domínio exclui o intervalo ( - 1,0 ) .

Quando x + (1)/(2) é positivo para x >= 0 , a última inequação é verdade desde que o valor do radical seja menos que x + (1)/(2) .

Quando x + (1)/(2) é negativo para x <= - 1 , a última inequação é falsa porque o valor do radical é positivo.

Sendo assim, f cresce em ( 0 , oo ) e decresce em (- oo , - 1) .

Passo 7

Achando concavidades e pontos de inflexão por meio da derivada segunda:

f^(' ') (x) = (2 (x^2 + x)^((1)/(2)) (2) - (2 x + 1) 2 (1)/(2) (x^2 + x)^(- (1)/(2)) (2 x + 1))/((2 sqrt(x^2 + x))^2) :.

f^(' ') (x) = ((x^2 + x)^(- (1)/(2)) [4 (x^2 + x) - (2 x + 1)^2])/(4 (x^2 + x)) :.

f^(' ') (x) = (- 1)/(4 ( x^2 + x )^((3)/(2)))

f^(' ') (x) < 0 quando é definida, assim, a função tem concavidade para baixo em ( - oo , - 1 ) , e em ( 0 , oo ) e não possui ponto de inflexão.

Com base nessas informações, temos o seguinte esboço:

Resposta

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(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.(d) Use as inf
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