Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 24
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:
Passo 1
Eaeee, belezinha??? Bom... A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva da seguinte função:
Assim, precisamos encontrar o domínio da função, interseção com eixos, limites no infinito, intervalos de crescimento, pontos críticos, fazer um estuda da concavidade e qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.
Eiiita, muita coisa né??? Então vamos com calma que vai dar certo!!!
😉
Passo 2
Nosso primeiro passo é calcular o domínio.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada para os quais a função produz um resultado válido.
Sabendo disso, é importante observar as restrições que uma função pode ter.
Como nossa raiz não pode ser negativa, temos que:
ou
Assim, o domínio é ou .
Passo 3
Agora precisamos achar os pontos de interceptação nos eixos.
Fazendo , temos o ponto de interceptação no eixo .
Assim, a origem é o único ponto em que a função intercepta os eixos e .
Passo 4
Vamos verificar se a função é par ou ímpar fazendo :
Vemos que .
Assim, não há simetria par e nem ímpar na figura.
Passo 5
Para assíntotas horizontais, a gente faz o limite da função para :
Assim, representa uma assíntota horizontal.
As assíntotas verticais ocorrem quando o denominador da função se anula. Assim, podemos concluir que não há assíntotas verticais!
Passo 6
Encontrando os intervalos de crescimento e decrescimento, a gente deriva a função e verificamos se a derivada é positiva ou negativa em relação ao intervalo.
Analisando a derivada, obtemos:
Devemos ter em mente que o domínio exclui o intervalo .
Quando é positivo para , a última inequação é verdade desde que o valor do radical seja menos que .
Quando é negativo para , a última inequação é falsa porque o valor do radical é positivo.
Sendo assim, cresce em e decresce em
Passo 7
Achando concavidades e pontos de inflexão por meio da derivada segunda:
quando é definida, assim, a função tem concavidade para baixo em , e em e não possui ponto de inflexão.
Com base nessas informações, temos o seguinte esboço: