Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas) - Capítulo 5.3 - Ex. 22

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Esboce o gráfico do integrando e use áreas para calcular a integral

∫ - 1 1 1 + 1 - x 2   d x

Passo 1

A integral da nossa questão será resolvida através da associação com a área entre a nossa curva e o eixo X. Precisamos então esclarecer alguns pontos para que possamos resolvê-la. Eles são: os limites do eixo X e qual o comportamento da nossa função neste intervalo.

Passo 2

Vamos começar por determinar o intervalo de análise. O intervalo será dado por [ a , b ] , em que a é o limite inferior da nossa integral e b o limite superior. Desta forma, temos:

a = - 1

b = 1

Passo 3

Vamos obter agora o gráfico da nossa função. Portanto, temos:

Em destaque temos a área da região que devemos calcular. Ela pode ser dividida em duas áreas: um retângulo de vértices A = ( - 1,1 ) , B = ( 1,1 ) , C = ( 1,0 ) e D = ( - 1,0 ) . Já a parte superior corresponde a um semicírculo de raio igual a 1 e centro no ponto Q = ( 0,1 ) . Poderíamos ter percebido que o mesmo corresponde a um semicírculo se fizermos a uma translação vertical da função g x = 1 - x 2 em uma unidade para cima. Como a função g ( y ) representa um semicírculo superior de raio 1 e centrado na origem, após fazermos a translação, obteremos a nossa função que queremos integras! E agora? Fica fácil de visualizar se utilizarmos assuntos aprendidos aqui antes, né?

Passo 4

Como o nosso retângulo possui lado base igual a 2 e altura igual a 1 , a sua área é dada por:

A q = b ⋅ h = 2

Já o nosso semicírculo de raio r = 1 possui a seguinte área:

A c = π r 2 2 = π 1 2 2 = π 2

Desta forma, a área total é:

A = A q + A c = 2 + π 2

Consequentemente,

∫ - 1 1 1 + 1 - x 2   d x = 2 + π 2

Resposta

∫ - 1 1 1 + 1 - x 2   d x = 2 + π 2

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