Enunciado

  1. Esboce, à mão, o gráfico da função f x = e x , prestando particular atenção em como o gráfico cruza o eixo y. Que fato lhe permite fazer isso?
  2. Que tipos de funções são f x = e x e g = x e ? Compare as fórmulas de derivação para f   e g .
  3. Qual das funções da parte (b) cresce mais rapidamente quando x é grande?

Passo 1

E aí! tudo certinho? 😉

Vamos lá já colocando a mão na massa porque a primeira coisa que o nosso problema pede é pra a gente esboçar um gráfico na mão!!

f x = e x

Veja só! 😉

Passo 2

E a gente tem que prestar atenção em quando o gráfico cruza o eixo y . Um gráfico qualquer cruza o eixo y quando x = 0 , então:

f 0 = e 0 = 1

Então a gente já sabe que é interessante que x = 0 seja um dos pontos escolhidos!!

Agora a gente monta uma tabelinha com alguns valores:

Agora o gráfico:

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Agora vamos para a letra (b)!

Aqui o problema traz duas funções:

f x = e x e g ( x ) = x e

E pergunta que tipo de funções são essas!

Temos duas funções crescentes! f ( x ) é uma função exponencial e g ( x ) é uma função potência.

A medida que x aumenta, f e g também aumentam. Agora vamos ver suas derivadas:

f ' x = e x

g ' x = e x e - 1

Comparando as duas, vemos que, f ' ( x ) = f ( x ) e g ' ( x ) é uma derivada de potência.

Bacana, não é? 😬

Passo 4

A letra (c) pergunta qual das funções cresce mais rapidamente! A derivada é a taxa de crescimento de uma função! Se:

e x > e x e - 1

Então f ( x ) cresce mais rapidamente que g ( x ) .

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

a)

b) f ' ( x ) = f ( x ) e g ' ( x ) é uma derivada de potência.

c) e x > e x e - 1

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