Enunciado

Descreva a mudança no gráfico de   f à medida que c varia. Faça o gráfico de vários membros da família para ilustrar as tendências que você descobriu. Em particular, você deve investigar como os pontos de máximo e mínimo e os pontos de inflexão movem-se quando c varia. Você deve também identificar qualquer valor intermediário de c no qual o aspecto básico da curva mude.

f x = x c 2 - x 2

Passo 1

Com c = 0 , o gráfico de f é apenas o ponto ( 0,0 ) . Desde que - c 2 = c ² , nós apenas consideramos que c > 0 . Desde que f - x = - f ( x ) , o gráfico é simétrico a partir da origem. O domínio de f é encontrado resolvendo c 2 - x 2 ≥ 0 ↔ x 2 ≤ c 2 ↔ x ≤ c , o que nos dá [ - c , c ] .

Passo 2

Derivando f :

f ' x = x 1 2 c 2 - x 2 - 1 2 - 2 x + c 2 - x 2 1 = c 2 - x 2 - 1 2 [ - x 2 + c 2 - x 2 ]

= c 2 - 2 x 2 c 2 - x 2

f ' x > 0 ↔ c 2 - 2 x 2 > 0 ↔ x 2 < c 2 2 ↔ x < c 2

Assim, temos que f cresce em - c 2 , c 2 e decresce em - c , - c 2 e em c 2 , c .

A função decresce até - c 2 , e começa a crescer, então aí temos um ponto de mínimo, depois cresce até c 2 e torna a decrescer, nos dando um ponto de máximo, assim, temos os seguintes valores:

f - c 2 = - c 2 c 2 - c 2 2 = - c 2 c 2 = - c ² 2

f c 2 = c 2 2

Passo 3

Avaliando a função por meio da segunda derivada:

f ' ' x = c 2 - x 2 1 2 - 4 x - c 2 - 2 x 2 1 2   c 2 - x 2 - 1 2 ( - 2 x ) c 2 - x 2 1 2 2

= x c 2 - x 2 - 1 2 c 2 - x 2 - 4 + c 2 + 2 x 2 c 2 - x 2 1 = 2 x 2 x 2 - 3 c 2 c 2 - x 2 3 2

Assim, quando f ' ' x = 0 , x = 0 ou x = ± 3 2 c , mas apenas 0 está no domínio de f . Temos f ' ' x < 0 para 0 < x < c , e f ' ' x > 0 para - c < x < 0 , portanto, f é côncava para baixo em ( 0 , c ) e côncava para cima em - c , 0 . Há um ponto de inflexão em 0,0 .

Com isso, sabemos que conforme o módulo de c aumenta, os valores máximos e mínimos aumentam em magnitude, e o valor de c não afeta a concavidade de f , como podemos ver no gráfico a seguir:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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