Enunciado

  1. Investigue a família de funções polinomiais dada pela equação f x = c x 4 - 2 x 2 + 1 . Para quais valores de c a curva tem pontos de mínimo?
  2. Mostre que os pontos de máximo e de mínimo para cada curva da família estão sobre a parábola y = 1 - x ² . Ilustre fazendo o gráfico dessa parábola e de vários membros da família.

Passo 1

  1. Para c = 0 , f x = - 2 x 2 + 1 , uma parábola cujo vértice, 0,1 ,   é uma máximo absoluto.
  2. Para c > 0 , f x = c x 4 - 2 x 2 + 1 se abre para cima com dois pontos mínimos. Com c → 0 , o ponto mínimo se espalha e se move para baixo. Eles estão abaixo do eixo x para 0 < c < 1 e sobre para c > 1 .

    Para c < 0 , o gráfico se abre para baixo, e tem um máximo absoluto em x = 0 , e nenhum mínimo local.

    Passo 2

  3. f ' x = 4 c x 3 - 4 x = 4 c x x 2 - 1 c ( c ≠ 0 ) .

Se c ≤ 0 , 0 é o único número crítico.

f ' ' x = 12 c x 2 - 4

Então, f ' ' 0 = - 4 , e há um máximo local em 0 ,   f 0 = ( 0,1 ) , que fica em y = 1 - x ² .

Se c > 0 , os números críticos são 0 e ± 1 c .

Como antes, há um máximo local em 0 , f 0 = ( 0,1 ) , que fica em y = 1 - x ² .

f ' ' ± 1 c = 12 - 4 = 8 > 0 , então há um mínimo local em x = ± 1 / c .

Aqui, f ± 1 c = c 1 c 2 - 2 c + 1 = - 1 c + 1 . Mas ( ± 1 c , - 1 c + 1 ) fica em y = 1 - x ² desde que 1 - ± 1 c 2 = 1 - 1 c .

Passo 2

Esboço do gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva: y = x 2 + x - x
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva: y = x 2 - x ² ²
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva: y = x x 2 - 1
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva: y = x 5 3 - 5 x 2 3
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva: y = x - x - 1