Enunciado

Descreva a mudança no gráfico de   f à medida que c varia. Faça o gráfico de vários membros da família para ilustrar as tendências que você descobriu. Em particular, você deve investigar como os pontos de máximo e mínimo e os pontos de inflexão movem-se quando c varia. Você deve também identificar qualquer valor intermediário de c no qual o aspecto básico da curva mude.

f x = ln ⁡ ( x 2 + c )

Passo 1

Nós vemos que para c ≤ 0 ,   f x = ln ⁡ ( x 2 + c ) é apenas definida em x 2 > - c → x > - c , e lim x → - c + ⁡ f ( x ) = lim x → - - c - ⁡ f ( x ) = - ∞ , desde que ln ⁡ y → - ∞ é y → 0 .

Assim, para c < 0 , há assíntotas verticais em x = ± c , e conforme c diminui ( | c | ) , as assíntotas se distanciam mais.

Para c = 0 , lim x → 0 ⁡ f ( x ) = - ∞ , então há uma assíntota vertical em x = 0 .

Se c > 0 , não há assíntota.

Passo 2

Para encontrarmos os pontos extremos e de inflexão, fazendo as derivadas:

f ' x = 1 x 2 + c 2 x = 0

Assim, vemos que há um ponto extremo em x = 0 .

Fazendo a segunda derivada, temos

f ' ' x = 1 x 2 + c 2 + 2 x - x 2 + c - 2 2 x = 2 c - x 2 x 2 + c 2

Assim, se c ≤ 0 , f ' ' é sempre negativa, então é côncava para baixo nos dois intervalos onde é definida. Se c > 0 , então f ' ' muda o sinal quando c = x 2 ↔ x = ± c . Se para c > 0 há pontos de inflexão em x = ± c , e c aumenta, os pontos de inflexão se afastam.

Passo 3

Esboço do gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva: y = 1 - x 2 x
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva: y = x 5 - x
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva: y = sec ⁡ x + tan ⁡ x ,0xπ 2
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva: y = x 3 + 1 3
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva: y = sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x