Enunciado

8. Esboce o mapa de contorno e o gráfico das seguintes funções:

d) f x , y = 6 - x 2 - y 2 ,       s e   x 2 + y 2 ≤ 4 4 - x 2 + y 2 ,       s e   x 2 + y 2 ≥ 4          

Passo 1

Antes de começar, vamos lembrar o que é mapa de contorno/curva de nível. A curva de nivel é a curva descrita quando igualamos a função a uma constante, isto é:

f x , y = c

Agora vamos ver como essas curvas se comportam no plano cartesiano, mas antes vamos tratar essa função em dois casos:

Caso 1: x 2 + y 2 ≤ 4

Neste caso, a função que estamos tratando é f x , y = 6 - x 2 - y 2 . Vamos identificar que tipo de curva de nível a função nos dá nesse domínio. c = 6 - x 2 - y 2 ↔ x 2 + y 2 = 6 - c

Para que a equação faça sentido, temos a condição de que c ≤ 6 .

Essa curva é uma circunferência de centro C = 0 ,   0 e de raio r = 6 - c . Sabendo disso, temos que para cada c , sua curva de nível é (no exemplo usamos c = 0 ) :

Como as curvas de nível nos ajudam a saber como será o gráfico da função, vamos esboçá-las para alguns valores de c ( 0 ,   1 ,   2 ,   3 , 4 ) :

Desenhando cada circunferência em z = c para todo c possivel, obtemos o grafico da função, que é:

Caso 2: x 2 + y 2 ≥ 4

Neste caso, a função que estamos tratando é f x , y = 4 - x 2 + y 2 . Vamos identificar que tipo de curva de nível a função nos dá nesse domínio. c = 4 - x 2 + y 2 ↔ - x 2 + y 2 = c - 4 ↔ x 2 + y 2 = 4 - c 2

Para que a equação faça sentido, temos a condição de que c ≤ 4 . Note que ao elevar ambos os termos ao quadrado, não perdemos nenhuma curva pois c ≥ 0 .

Essa curva é uma circunferência de centro C = 0 ,   0 e de raio r = 4 - c . Sabendo disso, temos que para cada c , sua curva de nível é (no exemplo usamos c = 0 ) :

Como as curvas de nível nos ajudam a saber como será o gráfico da função, vamos esboçá-las para alguns valores de c ( 0 ,   1 , 6 - 4 ,   5 - 4 ) :

Desenhando cada circunferência em z = c para todo c possível, obtemos o gráfico da função, que é (o cilindro em branco serve para auxiliar a visualização dos pontos que satisfazem

x 2 + y 2 ≥ 4 ):

Juntando ambos os gráficos, temos:

Resposta

Texto acima.

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