Enunciado

Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a.

∫ 0 π / 2 ∫ 0 4 cos ⁡ θ r   d r   d θ

Passo 1

Sabemos em que coordenadas polares a área de uma região é dada por

A = ∬ R r   d r   d θ

Neste caso, a região corresponde à metade superior da circunferência de centro ( 2,0 ) e raio 2 . De fato, note que

r = 4 cos ⁡ θ ⇒ r 2 = 4   r cos ⁡ θ ⇒ x 2 + y 2 = 4 x ⇒ x - 2 2 + y 2 = 4

Com θ variando no intervalo 0 , π 2 , r ≥ 0 , o que restringe o domínio ao primeiro quadrante. Se θ pudesse variar até π , o círculo seria completado com o quarto quadrante.

Passo 2

A integral será igual a área de metade de um círculo de raio 2 :

A = 1 2 π ⋅ 2 2 = 2 π

Resposta

2 π

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1)Calcular ∬ R x 2 + y 2 2d xd y onde R é a região da Figura 7.32.
3) Calcular ∬ R d xd y 1 + x 2 + y 2 onde R é a região da Figura 7.34.
5) Usando coordenadas polares, calcular b) ∫ - 2 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 ( x 2 + y 2 ) d x d y
5) Usando coordenadas polares, calcular ∫ 0 4 ∫ 0 4 y - y 2 ( x 2 + y 2 ) d x d y
Calcular ∬ R e 2 x 2 + y 2 d x d y , sendo R o círculo x 2 + y 2 ≤ 4 .