Teoria Completa
Quando estamos aprendendo Cálculo e acabamos nos aprofundando mais em maneiras de resolver integrais duplas, muitas vezes acabamos lidando com problemas bem cabeludos. Mas nós somos o RespondeAí e estamos aqui para te ajudar a mandar bem na sua prova da faculdade.
Nós sabemos que integrais duplas servem para muitas coisas, como calcular volume de figuras ou calcular o momento de inércia para aqueles que gostam de física, mas hoje estaremos interessados em entender como podemos aplicar uma mudança de variável em uma integral dupla, para facilitar a sua resolução.
Nesse método iremos mudar as variáveis para as coordenadas poolares, e por isso, se você não lembra muito bem desse assunto, da uma olhada nesse outro tópico nosso: Coordenadas Polares.
Relembrando muito basicamente o conceito de Coordenada Polar, para representar números em uma coordenada polar, precisamos dar uma distância em relação ao ponto de origem, que chamamos de raio $(r)$ e o ângulo de inclinação desse raio, fica mais claro com o desenho abaixo:
Repare que conseguimos utilizar trigonometria para deixar explicita essa conversão do tradicional eixo cartesiano para o sistema de coordenadas polares, e além disso que conforme eu vario o ângulo de um determinado raio, $r=1$ para ficar de acordo com a figura por exemplo, desenhamos um círculo nesse sistema. Então se $\theta$ variar entre 0 e $2\pi$, desenhamos uma circunferência completa!
Porque isso é tão importante de perceber? Te digo agora mesmo! Esse tipo de transformação vai ser muito utilizado para integrais duplas que desenham círculos, ou quando você encontrar muitos $x^2$ e $y^2$ nas funções que você pretende integrar. Vamos ver um exemplo bem simples, o do círculo em si, que tem a carinha $C = (x^2+y^2)≤1$!
Vamos calcular a integral dupla:
A nossa mudança de variável ocorrerá, pelas as relações que vimos na figura:
Para completar o processo, vamos ter que calcular o Jacobiano, que é um valor que vai ser adicionado a nossa integral junto aos novos diferenciais $drd\theta$.
Se você não sabe calcular o Jacobiano, temos uma página dedicada só para isso: Matriz Jacobiana. Lembrando basicamente do que se trata, calculamos o determinante de uma matriz composta pelas derivadas parciais da nossa função, na primeira coluna em relação a $r$ e na segunda coluna em relação a $\theta$ dessa forma:
Para o nosso exemplo, descobrindo esse determinante, achamos que:
Então agora já temos tudo o que precisamos para montar a nossa nova integral, na coordenada polar:
Eu sei, assusta! Mas repara que com um pouco de manipulação algébrica, podemos tornar esse monstro em uma maravilha:
Vamos começar reescrevendo as parcelas de dentro, da seguinte forma:
Usando a Identidade Trigonométrica $cos(\theta)^2+sen(\theta)^2=1$, reescrevemos a integral, sem as funções $sen$ e $cos$ e a transformamos em uma integral trivial para ser resolvida:
Show, né?! A única coisa que temos que nos preocupar agora é a questão, dos limites de integração. Sabemos que o nosso circulo $C$ é um círculo centrado na origem e um raio 1, logo já sabemos que a variável $r$ estará contida no intervalo $0≤r≤1$, e para completar um giro completo do círculo é preciso rodar com o nosso ângulo por todo o comprimento de uma circunferência, logo podemos conter $\theta$ no intervalo $0≤\theta≤2\pi$, dessa forma:
E agora só precisamos calcular o resultado dessa integral dupla:
Que vale o mesmo que:
Que vale:
E finalmente resolvemos a integral. A verdade é que não é tão difícil, mas é trabalhoso, mas eu vou deixar um roteirinho passo a passo do que você deve fazer para conseguir fazer a transformação da coordenada cartesiana para a coordenada polar.
Passo 1
- Garantir que a região que vai ser trabalhada, possa ser desenhada em coordenadas cartesianas, a melhor forma de fazer isso é esboçar um gráfico da região, e verificar se trata-se de um círculo.
Passo 2
- Observar os limites de integração das coordenadas polares na figura, ou seja, descobrir entre quais valores o raio vai variar e entre quais valores o ângulo vai variar.
Passo 3
- Calcular o Jacobiano da função, através da matriz das derivadas parciais da função, em relação as variáveis do sistema de coordenadas polar.
Passo 4
- Montar a integral dupla no formato das coordenadas polares, sem esquecer do famosos Jacobiano, o termo calculado no passo anterior, que surge a partir do determinante da matriz jacobiana.
Passo 5
- Efetuar as manipulações algébricas necessárias para simplificar a equação.
Passo 6
- Calcular a integral na nova coordenada.
Nesses 6 passos você consegue resolver, problemas em que são necessário aplicar uma transformação do sistema cartesiano de coordenadas, para o sistema polar de coordenadas.
No nosso site você encontra diversos exerc��cios de transformação de integrais duplas para coordenadas polares, e aqui em baixo, deixo uma resolução em vídeo de um exercício que foi dado em uma prova da UNICAMP:
Exercício Resolvido #1
Calcule , onde é a região do primeiro quadrante situada entre as circunferências e .
Passo 1
Como nossa região de integração é limitada por duas circunferências, é uma boa usar coordenadas polares. Vamos definir:
Como já vimos, o Jacobiano dessa transformação é .
Passo 2
Agora vamos analisar os intervalos de integração na figura abaixo:
Vemos que o raio varia entre e e o ângulo entre e .
Perceba que o enunciado disse 1º quadrante!
Passo 3
Vamos, então, montar a integral, substituindo os valores que atribuímos a e :
Esse vem do Jacobiano!
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a :
Mas Então, no fim, fica:
Passo 5
Agora vamos fazer a integração por partes, com;
e
O que nos dá:
e
Substituindo esses valores em
Temos:
Então, o valor da nossa integral é:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Calcule
Passo 1
Antes de tudo, vamos analisar com calma aqui rapidinho. Repare que varia desde até e essa expressão nada mais é do que a parte com positivo da circunferência .
No termo que vamos integrar, temos e . Já entendeu onde queremos chegar? Isso tudo indica que a boa aqui é usar coordenadas polares. Vamos fazer isso então!
Como já vimos, o Jacobiano dessa transformação é .
Passo 2
Para a gente não se confundir, vamos desenhar essa região de integração e descobrir os intervalos de e , ok? Como já falamos, varia desde até um arco de circunferência. Olhando para a integral, vemos que varia de até . Então temos:
É isso aqui o que temos então. Agora ficou mais fácil de ver que e (o equivalente a de volta do círculo).
Passo 3
Vamos, então, montar a integral, substituindo os valores que atribuímos a e :
Esse vem do Jacobiano!
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a :
Passo 5
Agora integramos em relação a . Para isso, vamos fazer a substituição:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Calcule
Onde é a região no primeiro quadrante limitada pelo semi-círculo .
Passo 1
Bom, antes de tudo, vamos desenhar essa região , para ter uma ideia melhor do que está acontecendo. Rearrumando a equação da circunferência:
Portanto, é uma circunferência de raio centrada em . Temos isso aqui então:
A região é essa em cinza.
Passo 2
Agora, vamos descrever essa região em coordenadas polares (já que se trata de um círculo):
Fazendo a mudança na equação da circunferência:
Como o raio varia desde a origem até a equação da circunferência, temos:
Ainda olhando para o desenho, como a região está toda descrita no primeiro quadrante, temos que
Passo 3
Agora vamos montar a integral em coordenadas polares, fazendo a substituição:
Temos, então:
Passo 4
Agora é só resolver isso aí:
Agora fazemos
Mudando os limites de integração vai dar
A nossa integral fica
Resposta
Exercício Resolvido #4
Utilize coordenadas polares para calcular
Onde
Passo 1
Bom, antes de tudo, vamos desenhar essa região , para ter uma ideia melhor do que está acontecendo. Queremos a parte com do círculo de raio :
Temos, então, essa região cinza.
Passo 2
Agora, vamos descrever essa região em coordenadas polares.
Como o raio vai desde a reta até a circunferência de raio , vamos fazer a mudança polar na reta:
Logo
Agora, para achar o intervalo de , precisamos descobrir onde a reta corta a circunferência, ou seja, onde:
Isso ocorre se
Logo, temos .
Passo 3
Agora vamos montar a integral em coordenadas polares, fazendo a substituição:
Temos, então:
Passo 4
Agora é só resolver isso aí:
Resposta
Exercício Resolvido #5
b) Calcule a integral
Considerando
Passo 1
Como temos termos quadráticos tanto no domínio como na função a ser integrada, vamos utilizar coordenadas polares. Faremos:
Passo 2
Primeiro vamos passar a nossa função pra coordenadas polares
O que dá uma facilitada na nossa vida é fazer uma diferença de quadrados no termo entre parênteses
Reconhece o segundo termo? É a identidade fundamental da trigonometria, ou seja, é igual a 1! Já o primeiro pode ser reescrito usando arco duplo pra cosseno
Então
Agora a nossa função ficou com uma cara mais simpática :)
Então finalmente podemos reescrever os que tá dentro dos nossos integrandos como
Show!
Passo 3
Agora precisamos determinar os limites de integração!
Primeiro vamos olhar a primeira integral. Nela a variável vai de até , então
Supondo que , podemos dizer que
Uhul!
Já a coordenada : essa coordenada vai de até , então
Show! Como escrevemos os limites de como uma função de então vamos primeiro integrar em e depois em , beleza?
Passo 4
A primeira integral então fica
Agora temos que fazer essa integralzinha rsrsrsrs
Pra isso vamos reescrever
Então a integral fica
Essa integral é beeemm chatinha. O resultado dela é
Lembrando que
Show!
Passo 5
Agora vamos pra segunda integral!
A coordenada é limitada por
E a coordenada é limitada por
Meio complicado, né? O engraçado é que nessa integral é mais fácil usar as coordenadas cartesianas mesmo ¯¯\_(ヅ)_/¯
O que tá dentro dos colchetes fica
Assim
De novo, uma integrais chatinhas haha
Vamos reescrever as raízes como
E esses arcos tangentes
Então finalmente