Integrais Duplas - Coordenadas Polares

Teoria Completa

Quando estamos aprendendo Cálculo e acabamos nos aprofundando mais em maneiras de resolver integrais duplas, muitas vezes acabamos lidando com problemas bem cabeludos. Mas nós somos o RespondeAí e estamos aqui para te ajudar a mandar bem na sua prova da faculdade.

Nós sabemos que integrais duplas servem para muitas coisas, como calcular volume de figuras ou calcular o momento de inércia para aqueles que gostam de física, mas hoje estaremos interessados em entender como podemos aplicar uma mudança de variável em uma integral dupla, para facilitar a sua resolução.

Nesse método iremos mudar as variáveis para as coordenadas poolares, e por isso, se você não lembra muito bem desse assunto, da uma olhada nesse outro tópico nosso: Coordenadas Polares.

Relembrando muito basicamente o conceito de Coordenada Polar, para representar números em uma coordenada polar, precisamos dar uma distância em relação ao ponto de origem, que chamamos de raio $(r)$ e o ângulo de inclinação desse raio, fica mais claro com o desenho abaixo:

Repare que conseguimos utilizar trigonometria para deixar explicita essa conversão do tradicional eixo cartesiano para o sistema de coordenadas polares, e além disso que conforme eu vario o ângulo de um determinado raio, $r=1$ para ficar de acordo com a figura por exemplo, desenhamos um círculo nesse sistema. Então se $\theta$ variar entre 0 e $2\pi$, desenhamos uma circunferência completa!

Porque isso é tão importante de perceber? Te digo agora mesmo! Esse tipo de transformação vai ser muito utilizado para integrais duplas que desenham círculos, ou quando você encontrar muitos $x^2$ e $y^2$ nas funções que você pretende integrar. Vamos ver um exemplo bem simples, o do círculo em si, que tem a carinha $C = (x^2+y^2)≤1$!

Vamos calcular a integral dupla:

$$\iint_C(x^2+y^2)\text{ }dxdy$$

A nossa mudança de variável ocorrerá, pelas as relações que vimos na figura:

$$x=r.cos(\theta)$$
$$y=r.sen(\theta)$$

Para completar o processo, vamos ter que calcular o Jacobiano, que é um valor que vai ser adicionado a nossa integral junto aos novos diferenciais $drd\theta$.

Se você não sabe calcular o Jacobiano, temos uma página dedicada só para isso: Matriz Jacobiana. Lembrando basicamente do que se trata, calculamos o determinante de uma matriz composta pelas derivadas parciais da nossa função, na primeira coluna em relação a $r$ e na segunda coluna em relação a $\theta$ dessa forma:

Para o nosso exemplo, descobrindo esse determinante, achamos que:

$$J=r$$

Então agora já temos tudo o que precisamos para montar a nossa nova integral, na coordenada polar:

$$\iint_C(x^2+y^2)\text{ }dxdy=\iint_C[(r.cos(\theta))^2+(r.sen(\theta))^2].r\text{ }drd\theta$$

Eu sei, assusta! Mas repara que com um pouco de manipulação algébrica, podemos tornar esse monstro em uma maravilha:

Vamos começar reescrevendo as parcelas de dentro, da seguinte forma:

$$(r.cos(\theta))^2+(r.sen(\theta))^2=r^2(cos(\theta)^2+sen(\theta)^2)$$

Usando a Identidade Trigonométrica $cos(\theta)^2+sen(\theta)^2=1$, reescrevemos a integral, sem as funções $sen$ e $cos$ e a transformamos em uma integral trivial para ser resolvida:

$$\iint_C[(r.cos(\theta))^2+(r.sen(\theta))^2].r\text{ }drd\theta=\iint_Cr^2.r\text{ }drd\theta=\iint_Cr^3\text{ }drd\theta$$

Show, né?! A única coisa que temos que nos preocupar agora é a questão, dos limites de integração. Sabemos que o nosso circulo $C$ é um círculo centrado na origem e um raio 1, logo já sabemos que a variável $r$ estará contida no intervalo $0≤r≤1$, e para completar um giro completo do círculo é preciso rodar com o nosso ângulo por todo o comprimento de uma circunferência, logo podemos conter $\theta$ no intervalo $0≤\theta≤2\pi$, dessa forma:

$$\int_0^{2\pi}\int_0^1 r^3\text{ }drd\theta$$

E agora só precisamos calcular o resultado dessa integral dupla:

$$\int_0^{2\pi}\Big[\left.\frac{r^4}{4}\Big]\right|_{r_1=0}^{r_2=1}\text{ }d\theta$$

Que vale o mesmo que:

$$\int_0^{2\pi}\Big[\frac{1}{4}\Big]\text{ }d\theta$$

Que vale:

$$\int_0^{2\pi}\frac{1}{4}\text{ }d\theta=\left.\Big[\frac{1}{4}\theta\Big]\right|_{\theta_1=0}^{\theta_2=2\pi}=\frac{1}{4}.2\pi=\frac{\pi}{2}$$

E finalmente resolvemos a integral. A verdade é que não é tão difícil, mas é trabalhoso, mas eu vou deixar um roteirinho passo a passo do que você deve fazer para conseguir fazer a transformação da coordenada cartesiana para a coordenada polar.

Passo 1

  • Garantir que a região que vai ser trabalhada, possa ser desenhada em coordenadas cartesianas, a melhor forma de fazer isso é esboçar um gráfico da região, e verificar se trata-se de um círculo.

Passo 2

  • Observar os limites de integração das coordenadas polares na figura, ou seja, descobrir entre quais valores o raio vai variar e entre quais valores o ângulo vai variar.

Passo 3

  • Calcular o Jacobiano da função, através da matriz das derivadas parciais da função, em relação as variáveis do sistema de coordenadas polar.

Passo 4

  • Montar a integral dupla no formato das coordenadas polares, sem esquecer do famosos Jacobiano, o termo calculado no passo anterior, que surge a partir do determinante da matriz jacobiana.

Passo 5

  • Efetuar as manipulações algébricas necessárias para simplificar a equação.

Passo 6

  • Calcular a integral na nova coordenada.

Nesses 6 passos você consegue resolver, problemas em que são necessário aplicar uma transformação do sistema cartesiano de coordenadas, para o sistema polar de coordenadas.

No nosso site você encontra diversos exerc��cios de transformação de integrais duplas para coordenadas polares, e aqui em baixo, deixo uma resolução em vídeo de um exercício que foi dado em uma prova da UNICAMP:

Exercício Resolvido #1

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 181

Calcule ∬ D   l n ⁡ ( x 2 + y 2 )   d x d y , onde D é a região do primeiro quadrante situada entre as circunferências x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 .

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Passo 1

Como nossa região de integração é limitada por duas circunferências, é uma boa usar coordenadas polares. Vamos definir:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Como já vimos, o Jacobiano dessa transformação é J = r .

Passo 2

Agora vamos analisar os intervalos de integração na figura abaixo:

Vemos que o raio r varia entre 1 e 2 e o ângulo θ entre 0 e π / 2 .

Perceba que o enunciado disse 1º quadrante!

Passo 3

Vamos, então, montar a integral, substituindo os valores que atribuímos a x e y :

∫ 1 2   ∫ 0 π 2 l n ⁡ r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2 r d θ d r = ∫ 1 2   ∫ 0 π 2 r ln ⁡ r 2 ⁡ d θ d r =

Esse r vem do Jacobiano!

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a θ :

= ∫ 1 2   r ln ⁡ r 2 θ θ = 0 θ = π / 2 d r =

= π 2 ∫ 1 2 r ln ⁡ r 2   d r =

Mas ln ⁡ r 2 = 2 ln ⁡ r . Então, no fim, fica:

= π 2 ∫ 1 2 2 r ln ⁡ r   d r

= π ∫ 1 2 r ln ⁡ r   d r

Passo 5

Agora vamos fazer a integração por partes, com;

ln ⁡ r = u e r = v '

O que nos dá:

u ' = 1 r e v = r 2 2

Substituindo esses valores em ∫ u v ' = u v - ∫ u ' v

Temos:

∫ r ln ⁡ r d r = r 2 2 ln ⁡ r - ∫ 1 r × r 2 2 d r = r 2 2 ln ⁡ r - r 2 4

Então, o valor da nossa integral é:

= π r 2 2 ln ⁡ r - r 2 4 r = 1 r = 2 =

= π 4 2 ln ⁡ 2 - 4 4 - 1 2 ln ⁡ 1 - 1 4 =

= π 2 ln ⁡ 2 - 1 + 1 4 =

Resposta

π 2 ln ⁡ 2 - 3 4

Exercício Resolvido #2

CEFET - Cálculo 2 - P2 Roberto Sa 2012.1 – 1a

Calcule

∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 cos ⁡ ( x 2 + y 2 ) d x d y

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Passo 1

Antes de tudo, vamos analisar com calma aqui rapidinho. Repare que x varia desde x = 0 até x = 1 - y 2 e essa expressão nada mais é do que a parte com x positivo da circunferência x 2 + y 2 = 1 .

No termo que vamos integrar, temos x 2 e y 2 . Já entendeu onde queremos chegar? Isso tudo indica que a boa aqui é usar coordenadas polares. Vamos fazer isso então!

x = r   c o s   θ

y = r   s e n   θ

Como já vimos, o Jacobiano dessa transformação é J = r .

Passo 2

Para a gente não se confundir, vamos desenhar essa região de integração e descobrir os intervalos de r e θ , ok? Como já falamos, x varia desde 0 até um arco de circunferência. Olhando para a integral, vemos que y varia de 0 até 1 . Então temos:

É isso aqui o que temos então. Agora ficou mais fácil de ver que 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ π / 2 (o equivalente a 1 / 4 de volta do círculo).

Passo 3

Vamos, então, montar a integral, substituindo os valores que atribuímos a x e y :

∫ 0 1   ∫ 0 π 2 c o s r   c o s   θ 2 + r   s e n   θ 2 r d θ d r =

Esse r vem do Jacobiano!

= ∫ 0 1   ∫ 0 π 2 r   c o s ⁡ ( r 2 ) d θ d r =

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a θ :

= ∫ 0 1   θ   r   c o s ⁡ ( r 2 ) 0 π / 2 d r =

= π 2 ∫ 0 1   r   c o s ⁡ ( r 2 ) d r =

Passo 5

Agora integramos em relação a r . Para isso, vamos fazer a substituição:

r 2 = u

2 r d r = d u

= π 2 ∫ 0 1   c o s ⁡ ( r 2 ) r   d r ⏟ d u / 2 =

= π 4 ∫ 0 1   c o s ⁡ ( u ) d u =

= π 4   s e n   u 0 1 =

= π 4   s e n   1

Resposta

π 4   s e n   1

Exercício Resolvido #3

UNICAMP - Cálculo 2 - P2 2013 Noite – 1

Calcule

∬ R   y d A

Onde R é a região no primeiro quadrante limitada pelo semi-círculo x 2 + y 2 = 2 x .

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Passo 1

Bom, antes de tudo, vamos desenhar essa região R , para ter uma ideia melhor do que está acontecendo. Rearrumando a equação da circunferência:

x - 1 2 + y 2 = 1

Portanto, é uma circunferência de raio 1 centrada em ( 1,0 ) . Temos isso aqui então:

A região R é essa em cinza.

Passo 2

Agora, vamos descrever essa região em coordenadas polares (já que se trata de um círculo):

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

J = r

Fazendo a mudança na equação da circunferência:

r cos ⁡ θ - 1 2 + r   s e n   θ 2 = 1

r 2 cos 2 ⁡ θ - 2 r cos ⁡ θ + 1 + r 2 s e n 2 θ = 1

r 2 = 2 r cos ⁡ θ

r = 2 cos ⁡ θ

Como o raio varia desde a origem até a equação da circunferência, temos:

0 ≤ r ≤ 2 cos ⁡ θ

Ainda olhando para o desenho, como a região está toda descrita no primeiro quadrante, temos que

0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 3

Agora vamos montar a integral em coordenadas polares, fazendo a substituição:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

J = r

∬ R   y d A = ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 cos ⁡ θ r   s e n   θ r d r d θ

Temos, então:

= ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 cos ⁡ θ r 2   s e n   θ d r d θ =

Passo 4

Agora é só resolver isso aí:

= ∫ 0 π 2 r 3 3 s e n   θ 0 2 cos ⁡ θ d θ =

= 1 3 ∫ 0 π 2 8 cos 3 ⁡ θ s e n   θ d θ =

= 8 3 ∫ 0 π 2 cos 3 ⁡ θ s e n   θ d θ =

Agora fazemos

cos ⁡ θ = u

- s e n   θ   d θ = d u

Mudando os limites de integração vai dar

θ = 0             →             u = 1

θ = π 2             →             u = 0

A nossa integral fica

= - 8 3 ∫ 1 0 u 3 d u =

= - 8 3 u 4 4 1 0 =

= - 8 3 0 - 1 4 =

= 8 12 =

= 2 3

Resposta

2 3

Exercício Resolvido #4

UNICAMP - Cálculo 2 - P2 2013 Tarde - 1

Utilize coordenadas polares para calcular

∬ R   x x 2 + y 2 d A

Onde

R = ( x , y ) ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ 4   e   x ≥ 1

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Passo 1

Bom, antes de tudo, vamos desenhar essa região R , para ter uma ideia melhor do que está acontecendo. Queremos a parte com x ≥ 1 do círculo de raio 2 :

Temos, então, essa região cinza.

Passo 2

Agora, vamos descrever essa região em coordenadas polares.

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

J = r

Como o raio vai desde a reta x = 1 até a circunferência de raio 2 , vamos fazer a mudança polar na reta:

x = 1 = r cos ⁡ θ

r = 1 cos ⁡ θ

Logo

1 cos ⁡ θ ≤ r ≤ 2

Agora, para achar o intervalo de θ , precisamos descobrir onde a reta corta a circunferência, ou seja, onde:

r = 1 cos ⁡ θ = 2

Isso ocorre se

cos ⁡ θ = 1 2

θ = π 3 - π 3

Logo, temos - π 3 ≤ θ ≤ π 3 .

Passo 3

Agora vamos montar a integral em coordenadas polares, fazendo a substituição:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

J = r

∬ R   x x 2 + y 2 d A = ∫ - π 3 π 3 ∫ 1 cos ⁡ θ 2 r cos ⁡ θ r 2 r d r d θ

Temos, então:

= ∫ - π 3 π 3 ∫ 1 cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d r d θ =

Passo 4

Agora é só resolver isso aí:

= ∫ - π 3 π 3 r cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 d θ =

= ∫ - π 3 π 3 2 cos ⁡ θ - 1 d θ =

= 2   s e n   θ - θ - π 3 π 3 =

= 2 3 2 - π 3 - - 2 3 2 + π 3 =

= 2 3 - 2 π 3

Resposta

2 3 - 2 π 3

Exercício Resolvido #5

UFRJ - Cálculo 3 - P1 2011.1 - 1b

b) Calcule a integral

∫ 0 a cos ⁡ b   ∫ 0 x tg ⁡ b f ( x , y ) d y d x + ∫ a cos ⁡ b a   ∫ 0 a 2 - x 2 f ( x , y ) d y d x

Considerando f x , y = x 4 - y 4

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Passo 1

Como temos termos quadráticos tanto no domínio como na função a ser integrada, vamos utilizar coordenadas polares. Faremos:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

J = r

Passo 2

Primeiro vamos passar a nossa função f pra coordenadas polares

f = x 4 - y 4 = r cos ⁡ θ 4 - r sen ⁡ θ 4 = r 4 cos 4 ⁡ θ - sen 4 ⁡ θ

O que dá uma facilitada na nossa vida é fazer uma diferença de quadrados no termo entre parênteses

cos 4 ⁡ θ - sen 4 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ

Reconhece o segundo termo? É a identidade fundamental da trigonometria, ou seja, é igual a 1! Já o primeiro pode ser reescrito usando arco duplo pra cosseno

cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

Então

cos 4 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ = cos ⁡ 2 θ 1 = c o s ⁡ ( 2 θ )

Agora a nossa função f ficou com uma cara mais simpática :)

f = r 4 cos ⁡ 2 θ

Então finalmente podemos reescrever os que tá dentro dos nossos integrandos como

x 4 - y 4 d x d y = r 4 cos ⁡ 2 θ r d r d θ = r 5 cos ⁡ 2 θ d r d θ

Show!

Passo 3

Agora precisamos determinar os limites de integração!

Primeiro vamos olhar a primeira integral. Nela a variável y vai de 0 até x tan ⁡ b , então

0 < y < x tan ⁡ b

0 < r sen ⁡ θ < r cos ⁡ θ tan ⁡ b

0 < tan ⁡ θ < tan ⁡ b

Supondo que b > 0 , podemos dizer que

0 < θ < b

Uhul!

Já a coordenada x : essa coordenada vai de 0 até a cos ⁡ b , então

0 < x < a cos ⁡ b

0 < r cos ⁡ θ < a cos ⁡ b

0 < r < a cos ⁡ b cos ⁡ θ

Show! Como escrevemos os limites de r como uma função de θ então vamos primeiro integrar em r e depois em θ , beleza?

Passo 4

A primeira integral então fica

∫ 0 b ∫ 0 a cos ⁡ b / cos ⁡ θ r 5 cos ⁡ 2 θ d r   d θ

= ∫ 0 b cos ⁡ 2 θ r 6 6 0 a cos ⁡ b cos ⁡ θ d θ = 1 6 ∫ 0 b cos ⁡ 2 θ a 6 cos 6 ⁡ b cos 6 ⁡ θ d θ

= a 6 cos 6 ⁡ b 6 ∫ 0 b cos ⁡ 2 θ cos 6 ⁡ θ d θ

Agora temos que fazer essa integralzinha rsrsrsrs

Pra isso vamos reescrever

cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ = 2 cos 2 ⁡ θ - 1

Então a integral fica

a 6 cos 6 ⁡ b 6 ∫ 0 b 2 cos 2 ⁡ θ - 1 cos 6 ⁡ θ d θ = a 6 cos 6 ⁡ b 6 ∫ 0 b ( 2 sec 4 ⁡ θ - sec 6 ⁡ θ )   d θ

Essa integral é beeemm chatinha. O resultado dela é

= a 6 cos 6 ⁡ b 6 1 10 6 cos ⁡ 2 θ + cos ⁡ 4 θ + 3 tan ⁡ θ sec 4 ⁡ θ 0 b

Lembrando que tan ⁡ 0 = 0

= a 6 cos 6 ⁡ b 6 1 10 6 cos ⁡ 2 b + cos ⁡ 4 b + 3 tan ⁡ b sec 4 ⁡ b

= a 6 cos ⁡ b sen ⁡ b 60 6 cos ⁡ 2 b + cos ⁡ 4 b + 3

Show!

Passo 5

Agora vamos pra segunda integral!

A coordenada y é limitada por

0 < y < a 2 - x 2 → 0 < r sen ⁡ θ < a 2 - r 2 cos 2 ⁡ θ

E a coordenada x é limitada por

a cos ⁡ b < x < a

a < r cos ⁡ θ < a cos ⁡ b

Meio complicado, né? O engraçado é que nessa integral é mais fácil usar as coordenadas cartesianas mesmo ¯¯\_(ヅ)_/¯

∫ a cos ⁡ b a   ∫ 0 a 2 - x 2 x 4 - y 4 d y d x = ∫ a cos ⁡ b a x 4 y - y 5 5 0 a 2 - x 2   d x

= ∫ acos ⁡ b a x 4 a 2 - x 2 - a 2 - x 2 5 d x

∫ acos ⁡ b a a 2 - x 2 x 4 - a 2 - x 2 4 d x

O que tá dentro dos colchetes fica

x 4 - a 2 - x 2 4 = x 4 - a 2 - x 2 2 = x 4 - a 4 - 2 a 2 x 2 + x 4 = 2 a 2 x 2 - a 4

Assim

∫ acos ⁡ b a a 2 - x 2 2 a 2 x 2 - a 4 d x = 2 a 2 ∫ acos ⁡ b a a 2 - x 2 x 2 d x - a 4 ∫ acos ⁡ b a a 2 - x 2 d x

De novo, uma integrais chatinhas haha

= 2 a 2 8 x a 2 - x 2 2 x 2 - a 2 + a 4 arctan ⁡ x a 2 - x 2 - a 4 2 x a 2 - x 2 + a 2 arctan ⁡ x a 2 - x 2 a a cos ⁡ b

= a 2 4 a cos ⁡ b a 2 - a 2 cos 2 ⁡ b 2 a 2 cos 2 ⁡ b - a 2 + a 4 arctan ⁡ acos ⁡ b a 2 - a 2 cos 2 ⁡ b - a 4 2 a cos ⁡ b a 2 - a 2 cos 2 ⁡ b - a 6 2 arctan ⁡ acos ⁡ b a 2 - a 2 cos 2 ⁡ b

Vamos reescrever as raízes como

a 2 - a 2 c o s 2 b = a 1 - cos 2 ⁡ b = a sen 2 ⁡ b = a sen ⁡ b

E esses arcos tangentes

arctan ⁡ acos ⁡ b a 2 - a 2 cos 2 ⁡ b = arctan ⁡ a cos ⁡ b a sen ⁡ b = arctan ⁡ c o t a n   b

Então finalmente

= a 6 4 cos ⁡ b sen ⁡ b 2 cos 2 ⁡ b - 1 + a 6 4 arctan ⁡ c o t a n   b - a 6 2 cos ⁡ b sen ⁡ b - a 6 2 arctan ⁡ c o t a n   b