Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.4 - Ex. 27
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.
27. ,
Passo 1
Podemos ver pelo gráfico da imagem:
Que a região que buscamos está dentro da curva vermelha e fora da curva azul. Precisamos determinar o intervalo de em que esta região está contida, para isso, vamos igualar as duas equações, para já que esse intervalo pode ser determinado pelos pontos de interseção das duas curvas:
Como a região é simétrica em relação ao eixo x, podemos integrar no intervalo e multiplicar a integral da área por 2, que será equivalente ao que encontramos para o ângulo.
A integral da área:
Se torna:
Onde e .
Passo 2
Vamos primeiro resolver a integral indefinida, e depois aplicamos os limites de integração:
Abrindo os polinômios:
Utilizando a seguinte propriedade trigonométrica:
Ficamos com:
Somando os termos:
Integrando:
Passo 3
Aplicando os limites, teremos: