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Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.

27. r = 3 c o s θ , r = 1 + c o s θ

Passo 1

Podemos ver pelo gráfico da imagem:

Que a região que buscamos está dentro da curva vermelha e fora da curva azul. Precisamos determinar o intervalo de θ em que esta região está contida, para isso, vamos igualar as duas equações, para já que esse intervalo pode ser determinado pelos pontos de interseção das duas curvas:

3 c o s θ = 1 + c o s θ

c o s θ = 1 2

θ = ± π 3

Como a região é simétrica em relação ao eixo x, podemos integrar no intervalo 0 ≤ θ ≤ π 3 e multiplicar a integral da área por 2, que será equivalente ao que encontramos para o ângulo.

A integral da área:

A = ∫ a b 1 2 f θ 2 - g θ 2 d θ

Se torna:

A = 2 ∫ 0 π 3 1 2 ( 3 c o s θ ) 2 - ( 1 + c o s θ ) 2 d θ

Onde f θ = 3 c o s θ e g θ = 1 + c o s θ .

Passo 2

Vamos primeiro resolver a integral indefinida, e depois aplicamos os limites de integração:

2 ∫ 1 2 ( 3 c o s θ ) 2 - ( 1 + c o s θ ) 2 d θ

Abrindo os polinômios:

∫ ( 9 c o s 2 θ - 1 + 2 c o s θ + c o s 2 θ ) d θ

∫ 8 c o s 2 θ - 2 c o s θ - 1 d θ

Utilizando a seguinte propriedade trigonométrica:

c o s 2 θ = 1 + c o s 2 θ 2

Ficamos com:

∫ 4 ( 1 + c o s 2 θ ) - 2 c o s θ - 1 d θ

Somando os termos:

∫ 3 + 4 c o s 2 θ - 2 c o s θ d θ

Integrando:

3 θ + 2 s e n 2 θ - 2 s e n θ + c

Passo 3

Aplicando os limites, teremos:

A = 3 π 3 + 2 s e n 2 π 3 - 2 s e n π 3     - 3 0 + 2 s e n ( 2 * 0 ) - 2 s e n 0

A = π

Resposta

A = π

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