Enunciado

Escreva a equação em coordenadas esféricas.

Passo 1

Iremos analisar primeiramente a seguinte equação:

x^2 + y^2 + z^2 = 9

Das equações de transformação para coordenadas esféricas, temos:

x = rho s e n varphi cos theta , y = rho s e n varphi s e n theta , z = rho cos varphi , x^2 + y^2 + z^2 = rho^2

Aplicando as equações de transformação, temos:

rho^2 = 9 -> rho = 3

Pegamos somente o valor positivo de rho , pois ele representa a distância e seria incoerente ter um valor menor que zero.

Passo 2

Agora iremos analisar a equação:

x^2 - y^2 - z^2 = 1

Substituindo os termos presentes na relação de transformação apresentadas no passo 1, temos:

(rho s e n varphi cos theta)^2 - (rho s e n varphi s e n theta)^2 - (rho cos varphi)^2 = 1

(rho^2 s e n^2 varphi) (cos^2 theta - s e n^2 theta) - rho^2 cos^2 varphi = 1

Da soma de ângulos, temos que cos^2 x - s e n^2 x = cos 2 x , sendo assim, reescrevendo a equação anterior:

rho^2 s e n^2 varphi cos 2 theta - rho^2 cos^2 varphi = 1

E, colocando rho^2 em evidência:

rho^2 (s e n^2 varphi cos 2 theta - cos^2 varphi) = 1

Resposta

rho = 3

rho^2 (s e n^2 varphi cos 2 theta - cos^2 varphi) = 1

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