Enunciado

Escreva a função comprimento de arco de:

a) vec r (t) = (s e n ((t)/(2)) , cos ((t)/(2)) , 2 t)

Passo 1

A ideia nessas questões de calcular a função comprimento de arco da curva é lembrar da formula lá da teoria, deixa eu te lembrar:

l (t) = int_0^t |vec r^' (t)| d t

Passo 2

Incialmente, vamos encontrar vec r^' (t) . Vem comigo!

vec r (t) = (s e n ((t)/(2)) , cos ((t)/(2)) , 2 t)

Derivando,

vec r^' (t) = ((1)/(2) cos ((t)/(2)) , (1)/(2) (- s e n ((t)/(2))) , 2)

Logo,

vec r^' (t) = ((1)/(2) cos ((t)/(2)) , - (1)/(2) s e n ((t)/(2)) , 2)

Passo 3

Agora que já encontramos vec r^' (t) , vamos ver como fica o modulo desse vetor!

|vec r^' (t)| = sqrt(((1)/(2) cos ((t)/(2)))^2 + (- (1)/(2) s e n ((t)/(2)))^2 + 2^2)

Assim,

|vec r^' (t)| = sqrt((1)/(4) cos^2 ((t)/(2)) + (1)/(4) s e n^2 ((t)/(2)) + 4)

Mas lá da trigonometria a gente sabe o seguinte:

cos^2 (t) + s e n^2 (t) = 1

Logo,

|vec r^' (t)| = sqrt((1)/(4) + 4)

Portanto,

|vec r^' (t)| = (sqrt(17))/(2)

Passo 4

Para finalizarmos, vamos calcular a seguinte integral:

l (t) = int_0^t (sqrt(17))/(2) d t

Tirando o sqrt(17) // 2 da integral:

l (t) = (sqrt(17))/(2) int_0^t d t

Integrando:

l (t) = (sqrt(17))/(2) t

Resposta

l (t) = (sqrt(17))/(2) t

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