Calcule o comprimento da curva dada:

a) gamma(t) = (t cos(t), t sen(t)), t ∈ [0, 2pi]

Passo 1

Para calcular o comprimento de uma curva usamos:

Seja γ t : a , b → R n uma curva com derivada contínua em a , b . Definimos o comprimento L γ da curva γ por:

L γ = ∫ a b γ ' t d t

Sabendo que γ ' t = γ ' 1 2 + γ ' 2 2 , então:

L γ = ∫ 0 2 π   [ t cos ⁡ t ' ] 2 + [ t sin ⁡ t ' ] 2 d t

t cos ⁡ t ' = cos ⁡ t - t sin ⁡ t

t sin ⁡ t ' = sin ⁡ t + t cos ⁡ t

cos ⁡ t - t sin ⁡ t 2 + sin ⁡ t + t cos ⁡ t 2 =

cos 2 ⁡ t - 2 t cos ⁡ t sin ⁡ t + t 2 sin 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t + 2 t cos ⁡ t sin ⁡ t + t 2 cos 2 ⁡ t =

( cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t ) + t 2 ( sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t ) = 1 + t 2

L γ = ∫ 0 2 π 1 + t 2 d t

Passo 2

Encontrada a integral, podemos perceber que a integral pode ser feita pelo método da substituição trigonométrica:

L γ = ∫ 0 2 π 1 + t 2 d t

Se Tivermos um triângulo retângulo com hipotenusa 1 + t 2 , com cateto adjacente 1, e o outro cateto oposto t , temos as seguintes relações:

sec ⁡ θ = 1 + t 2 , tan ⁡ θ = t → d t = sec 2 ⁡ θ d θ  

Assim:

L γ = ∫ sec ⁡ θ × sec 2 ⁡ θ d θ

Aqui teremos uma integral por partes, sendo que, como vimos na substituição, tan ⁡ θ = t → d t = sec 2 ⁡ θ d θ , e vamos usar o sec ⁡ θ = u → sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

∫ sec ⁡ θ × sec 2 ⁡ θ d θ = tan ⁡ θ sec ⁡ θ - ∫ sec ⁡ θ tan 2 ⁡ θ d θ

∫ sec ⁡ θ × sec 2 ⁡ θ d θ = tan ⁡ θ sec ⁡ θ - ∫ sec ⁡ θ sec 2 ⁡ t - 1 2 ⁡ θ d θ =

∫ sec ⁡ θ × sec 2 ⁡ θ d θ = tan ⁡ θ sec ⁡ θ - ∫ sec 3 ⁡ θ d θ + ∫ sec ⁡ θ

2 ∫ sec ⁡ θ × sec 2 ⁡ θ d θ = tan ⁡ θ sec ⁡ θ + ∫ sec ⁡ θ

∫ sec ⁡ θ × sec 2 ⁡ θ d θ = 1 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ + ∫ sec ⁡ θ

Para calcular ∫ sec ⁡ θ , fazemos assim:

∫ sec ⁡ θ × tan ⁡ θ + sec ⁡ θ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ d θ = ∫ sec ⁡ θ tan ⁡ θ + sec 2 ⁡ θ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ d θ

u = tan ⁡ θ + sec ⁡ θ → d u = sec ⁡ θ tan ⁡ θ + sec 2 ⁡ θ d θ

∫ sec ⁡ θ × tan ⁡ θ + sec ⁡ θ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ d θ = ∫ 1 u d u = ln ⁡ u = ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ

Voltando pra integral de ∫ sec 3 ⁡ θ :

∫ sec ⁡ θ × sec 2 ⁡ θ d θ = 1 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ + ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ

Passo 3

Agora Vamos voltar pra variável t :

1 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ + ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ

Vimos que tan ⁡ θ = t   e   sec ⁡ θ = 1 + t 2 , então:

1 2 t 1 + t 2 + ln ⁡ t + 1 + t 2 2 π 0 = 1 2 2 π 1 + 4 π 2 + ln ⁡ 2 π + 1 + 4 π 2 =

π 1 + 4 π 2 + 1 2 ln ⁡ 2 π + 1 + 4 π 2

Resposta

L γ = π 1 + 4 π 2 + 1 2 ln ⁡ 2 π + 1 + 4 π 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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