Enunciado

Determinar o comprimento do arco das seguintes curvas:

h) r → t = - s e n t , cos ⁡ t ,   2 para t ∈ 0 ,   2 π

Passo 1

A ideia nessas questões de calcular o comprimento do arco de uma curva é lembrar da formula lá da teoria, deixa eu te lembrar:

l = ∫ a b r ' → t d t

Essa formula nos dá o comprimento da curva r → t entre os pontos a e b . Repare que r ' → t é o modulo do vetor r ' → t . Então vamos lá!

Passo 2

O enunciado nos pede para calcular o comprimento de r → t   entre os pontos 0 e 1 .Incialmente, vamos encontrar r ' → t .

r → t = - s e n t , cos ⁡ t ,   2

Derivando,

r ' → t = - cos ⁡ t ,   - s e n t , 0

Passo 3

Agora que já encontramos r ' → t , vamos ver como fica o modulo desse vetor!

r ' → t = - cos ⁡ t 2 + - s e n t 2 + 0 2

Assim,

r ' → t = cos 2 ⁡ t + s e n 2 t

Mas lá da trigonometria a gente sabe o seguinte:

cos 2 ⁡ t + s e n 2 t = 1

Logo,

r ' → t = 1 = 1

Passo 4

Para finalizarmos, vamos calcular a seguinte integral:  

l = ∫ a b 1   d t

Como estamos pegando entre os pontos 0 e 2 π :

l = ∫ 0 2 π d t

Como a integral de d t é t :

l = t 0 π

Portanto,

l = 2 π - 0

Logo, o comprimento do arco é 2 π

Resposta

l = 2 π

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