Enunciado

Calcule o comprimento exato da curva polar

r = e^(2 theta)

0 <= theta <= 2 pi

Passo 1

O comprimento de uma curva em coordenadas polares é dado por

L = int_a^b sqrt(r^2 + ((d r)/(d theta))^2) d theta

O intervalo de integração a questão já deu pra gente:

a = 0

b = 2 pi

Os outros termos da integral vão ficar:

r = e^(2 theta)

r^2 = e^(4 theta)

(d r)/(d theta) = 2 e^(2 theta)

((d r)/(d theta))^2 = 4 e^(4 theta)

Passo 2

Substituindo tudo na integral:

L = int_0^(2 pi) sqrt(e^(4 theta) + 4 e^(4 theta)) d theta

L = int_0^(2 pi) sqrt(5 e^(4 theta)) d theta

L = int_0^(2 pi) sqrt(5) e^(2 theta) d theta

L = sqrt(5) int_0^(2 pi) e^(2 theta) d theta

L = sqrt(5) [(1)/(2) e^(2 theta)] [[2,pi],[0]]

L = sqrt(5) [(1)/(2) e^(4 pi) - (1)/(2) e^0]

L = (sqrt(5))/(2) [e^(4 pi) - 1]

Resposta

L = (sqrt(5))/(2) [e^(4 pi) - 1]

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