Enunciado

  1. Escreva a integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
  2. Use sua calculadora para determinar a integral com precisão de cinco casas decimais.

y = cos 4 ⁡ x ,   y = - cos 4 ⁡ x     , - π 2 ≤ x ≤ π 2 em torno do eixo x = π

Passo 1

Vamos resolver o item a) primeiro.

Vamos desenhar as curvas para nos dá uma ideia do que vamos rotacionar, bleza?

Usando a formula para o volume do sólido de rotação em relação ao eixo y ,   ou seja,

V = ∫ a b 2 π x f x   d x  

Temos que a altura da curva é dada pela diferença entre a amplitude delas, ou seja

cos 4 ⁡ x - - cos 4 ⁡ x

Já a circunferência, como não iniciamos a rotação de zero, é dada por π - x   .  

Sendo assim,

∫ - π 2 π 2   2 π π - x cos 4 ⁡ x - - cos 4 ⁡ x d x     d x = 4 π ∫ - π 2 π 2   π - x cos 4 ⁡ x   d x  

Passo 2

Agora vamos usar a calculadora para resolver a integral anterior, beleza ?

V = ∫ - π 2 π 2   2 π π - x cos 4 ⁡ x - - cos 4 ⁡ x d x     d x = 4 π ∫ - π 2 π 2   π - x cos 4 ⁡ x   d x   ≈ 46.50942

Resposta

V ≈ 46.50942

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