Enunciado

  1. Escreva a integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
  2. Use sua calculadora para determinar a integral com precisão de cinco casas decimais.

x = s e n y , 0 ≤ x ≤ π em torno do eixo y = 4

Passo 1

Opaa! Temos as seguintes curvas:

x = s e n y , 0 ≤ y ≤ π em torno do eixo y = 4

E queremos a integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo dado. Bora fazer um esboço pra ficar mais claro:

Passo 2

Para calcular o volume do sólido vamos usar a seguinte fórmula:

V = ∫ a b 2 π y f ( y )   d y  

Onde:

2 π y = c i r c u n f e r ê n c i a

f y = a l t u r a

d y = e s p e s s u r a

Temos que a altura da curva é dada pela própria função:

s e n   y

Já a circunferência, como não iniciamos a rotação de zero, é dada por 4 - y   .     Sendo assim:

V = ∫ 0 π   2 π 4 - y s e n   y     d y  

Passo 3

Agora vamos usar a calculadora para resolver a integral anterior, beleza ?

V = ∫ 0 π   2 π 4 - y s e n   y     d x

V ≈ 36.57476

Resposta

V = ∫ 0 π   2 π 4 - y s e n   y     d x

V ≈ 36.57476

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