Enunciado

Escreva, mas não calcule, uma integral para o volume de um sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.

y = ln ⁡ x ,   y = 0 ,   x = 2 ; em torno do eixo y

Passo 1

Usando o enunciado temos o seguinte esboço:

Passo 2

Como podemos ver, a região está limitada em x entre 1 e 2 , então nossa integral é:

V = ∫ 1 2 2 π x ln ⁡ x d x

Isso acontece porque como a função irá girar em torno do eixo y , e a distância da função até o eixo é 1 , e ela varia 1 em x no intervalo de 1 a 2 , então o raio da circunferência é simplesmente x - 0 = x , e sua altura é ln ⁡ x .

Resposta

V = ∫ 1 2 2 π x ln ⁡ x d x .

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