Enunciado

Uma esteira transportadora está descarregando cascalho a uma taxa de 30 pés/min, construindo uma pilha na forma de cone com o diâmetro da base e altura sempre igual. Quão rápido está crescendo a altura da pilha quando está a 10 pés de altura?

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você??Vamos analisar o que nosso probleminha está falando. Bom, ele nos diz que a pilha de cascalhos tem forma de cone com altura igual ao seu diâmetro, e nos pede a velocidade que a altura está crescendo para quando já tem 10 pés de altura. Viu, nem é tão difícil assim. Eaii, partiu??

Passo 2

Nosso primeiro passo vai ser achar o volume:

V = π r ² h 3

V = π h 3 12

Agora, sabemos que a variação do volume em relação ao tempo é igual a variação do volume em relação à altura, vezes a variação da altura em relação ao tempo. Ou seja,:

d V d t = d V d h   . d h d t

Passo 3

Com o nosso volume já achado, vamos encontrar agora a taxa de variação dele através da derivada direta.

30 = d V d t = π h 2 4 d h d t

Para 10 pés, temos:

d h d t = 120 10 ² π = 0,38   p é s / m i n

Resposta

d h d t = 0 , 38   p é s / m i n

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