12. Calcule

d ) ∫ sin ⁡ 3 x cos ⁡ 3 x   d x

Passo 1

Faremos uso da identidade trigonométrica sin ⁡ a cos ⁡ b = 1 2 sin ⁡ a + b   + sin ⁡ ( a - b )

∫ sin ⁡ 3 x cos ⁡ 3 x   d x =     ∫ 1 2 sin ⁡ 3 x + 3 x   + sin ⁡ ( 3 x - 3 x ) = 1 2 ∫ ( sin ⁡ 6 x + sin ⁡ 0 ) d x

1 2 ∫ sin ⁡ 6 x   d x

Passo 2

Sabemos que ∫ sin ⁡ α x   d x =   - 1 α cos ⁡ α x + k , sendo   α e k constantes. Assim,

1 2 ∫ sin ⁡ 6 x   d x =   1 2 - 1 6 cos ⁡ 6 x   + k =   - 1 12 cos ⁡ 6 x + k

Resposta

Logo, o resultado dessa integral é

∫ sin ⁡ 3 x cos ⁡ 3 x   d x =   - 1 12 cos ⁡ 6 x + k

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