Enunciado

Dê uma estimativa para a área entre o gráfico da função f e o intervalo [ a ,   b ] . Use um esquema de aproximação com n retângulos, análogo ao desenvolvido nesta seção para a função f   ( x )   =   x 2 . Se seu recurso computacional efetuar somatórios automaticamente, estime a área especificada usando n   =   10 ,   50 e 100 retângulos. Caso contrário, estime a área usando n   =   2 ,   5   e   10 retângulos.

f x = 1 x     ; a , b = 1,2

Passo 1

Já que vamos usar o método dos retângulos para calcular a área, vamos começar subdividindo o intervalo [ 1 ,   2 ] em n subintervalos iguais, cada um, portanto, com comprimento de 1 / n ; as extremidades dos subintervalos ocorrem em:

1 + 1 n , 1 + 2 n , 1 +   3 n ,   …   , 1 +   n - 1 n , 1 + n n

Organizando melhor:

n + 1 n , n + 3 n , n + 3 n ,   …   ,   2 n - 1 n   ,   2

Passo 2

A área do triângulo é b a s e a l t u r a 2 , sendo que a base de todos eles vai ser 1 n   pois dividimos o intervalo de tamanho 1 em 1 / n pedacinhos. E a altura vai ser exatamente o f ( x ) naquele ponto, ou seja, dado que f x = 1 x     ,     as alturas serão:

1 n + 1 n ,   1 n + 2 n   , 1 n + 3 n     ,   …   ,   1 2    

Que organizando melhor fica:

n n + 1 , n n + 2 , n n + 3   ,   …   , n 2 n - 1 , n 2 n

Como todas as bases dos retângulos são iguais, temos então que a área total é:

A t o t a l = n n + 1 + n n + 2 + n n + 3 +   … + n 2 n - 1 + n 2 n   1 n

Então:

A t o t a l = 1 n + 1 + 1 n + 2 + 1 n + 3 +   … + 1 2 n - 1 + 1 2 n

Passo 3

Para n = 2 :

A t o t a l = 1 3 + 1 4 = 0,583333

Para n = 5 :

A t o t a l = 1 6 + 1 7 + 1 8 + 1 9 + 1 10 = 0,645635

Para n = 10 :

A t o t a l = 1 1 1 + 1 1 2 + 1 1 3 +   … + 1 20 =   0,668771

Para n = 50

A t o t a l = 1 5 1 + 1 5 2 + 1 5 3 +   … + 1 100 =   0,688172

Para n = 100 :

A t o t a l = 1 10 1 + 1 10 2 + 1 10 3 +   … + 1 200 =   0,690653

Resposta

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