Enunciado

Dê uma estimativa para a área entre o gráfico da função f e o intervalo [ a ,   b ] . Use um esquema de aproximação com n retângulos, análogo ao desenvolvido nesta seção para a função f ( x ) = x 2 . Se seu recurso computacional efetuar somatórios automaticamente, estime a área especificada usando n = 10 ,   50   e   100 retângulos. Caso contrário, estime a área usando n = 2 ,   5   e   10 retângulos.

f x = cos ⁡ x ; a , b = [ - π 2 , π 2 ]

Passo 1

Usaremos o método dos retângulos para calcular a área, começando por subdividir o intervalos [ - π 2 , π 2 ] em n subintervalos iguais, cada um com um comprimento de 1 n , assim,as extremidades serão:

- π 2 , - π 2 + π n , - π 2 + 2 π n ,   …   , - π 2 + n - 1 π n , π 2

Passo 2

Agora, tendo a área do triangulo, a base de todos eles vai ser 1 n , uma vez que dividimos o intervalo de tamanho π 2 em 1 n . Já a altura vai ser o f ( x ) naquele ponto, logo:

cos ⁡ - π 2 + π n + cos ⁡ - π 2 + 2 π n + …   + cos ⁡ - π 2 + n - 1 π n + cos ⁡ π 2

Como todas as bases dos retângulos são iguais, então a área total é:

A t o t a l = cos ⁡ - π 2 + π n + cos ⁡ - π 2 + 2 π n + …   + cos ⁡ - π 2 + n - 1 π n + cos ⁡ π 2 1 n

Passo 3

Considerando que para calcularmos a área total, temos:

A t o t a l = cos ⁡ - π 2 + π n + cos ⁡ - π 2 + 2 π n 1 n

substituindo esses valores para n = 2 ,   5 ,   10 ,   50 ,   100 , então teremos:

Prontinho!!

Resposta

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