Enunciado

(a) Estime a área sob o gráfico de f x = cos ⁡ x   de x = 0 até x = π 2 usando quatro retângulos aproximantes e extremidades direitas. Esboce o gráfico e os retângulos. Sua estimativa é uma subestimativa ou uma superestimativa?

(b) Repita a parte (a) usando extremidades esquerdas.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente estimar a área sob o gráfico de f x = cos ⁡ x   de x = 0 até x = π 2 usando quatro retângulos aproximantes e extremidades direitas e, depois, repetir o processo usando extremidades esquerdas.

Pra a primeira aproximação, vamos esboçar o gráfico de f x = cos ⁡ x   com os quatro retângulos abaixo da curva. Assim, vamos somar as áreas dos triângulos usando a fórmula:

R 4 = ∑ i = 1 4 f x i ∆ x

Repare que o intervalo é de 0 até π 2 , com n = 4 , então, temos:

∆ x = π 2 - 0 4 - 0 = π 8

Então, vamos substituir extrair alguns valores x i e f ( x i ) no gráfico, substituir na fórmula e calcular nossa aproximação. Depois vamos fazer o mesmo processo na letra (b), usando retângulos nas extremidades esquerdas.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar esboçando o gráfico com os retângulos da letra (a):

Estimando a área abaixo da curva, somando as áreas dos retângulos, temos:

R 4 = ∑ i = 1 4 f x i ∆ x

Como ∆ x = π 8 , extraindo alguns valores de x do gráfico, no intervalo considerado, vamos ter:

R 4 = π 8 f x 1 + f x 2 + f x 3 + f x 4

= π 8 [ cos ⁡ π 8 + cos ⁡ 2 π 8 + cos ⁡ 3 π 8 + cos ⁡ 4 π 8 ]  

Então, calculando, obtemos:

R 4 ≈ π 8 0,9239 + 0,7071 + 0,3827 + 0

R 4 ≈ 0.7908

Como f está decrescendo em 0 , π 2 , é obtida uma subestimação usando as aproximações extremas à direita R 4 .

Passo 3

Agora vamos fazer o esboço do gráfico na letra (b):

Usando a fórmula da estimativa de área:

L 4 = ∑ i = 1 4 f x i - 1 ∆ x

Também com ∆ x = π 8 , temos:

R 4 = π 8 f x 0 + f x 1 + f x 2 + f x 3

= π 8 [ cos ⁡ 0 + cos ⁡ π 8 + cos ⁡ 2 π 8 + cos ⁡ 3 π 8 ]  

E calculando, obtemos:

R 4 ≈ π 8 1 + 0,9239 + 0,7071 + 0,3827

R 4 ≈ 1.1835

Observe que L 4 é uma superestimação.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

R 4 ≈ 0.7908

R 4 ≈ 1.1835

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