Enunciado

(a) Estime a área sob o gráfico de f x = c o s   x     de x = 0 até x = π 2 usando quatro retângulos aproximantes e extremidades direitas. Esboce o gráfico e os retângulos. Sua estimativa é uma subestimativa ou uma superestimativa?

(b) Repita a parte (a) usando extremidades esquerdas.

Passo 1

Fala aí! Partiu resolver essa questãozinha juntinhos? Beleza! Bom, na letra a, precisamos estimar uma área sobre um gráfico da função dada e dizer se ela está subestimada ou superestimada… Pra isso o nosso primeiro passo é desenhar um gráfico com a função cosseno, com o 0   <   x   <   π 2 , ok?

Agora vamos dividir essa parte do gráfico em retângulos, de forma que eles a soma dessas áreas seja a área do gráfico, beleza?

Vamos ficar com o seguinte:

Agora vamos calcular a área da função de acordo com a nossa divisão de quadradinhos, ok?

Vamos ter que então:

R 4 = ∆ x   .   ∑ i = 1 4 f x i

Nosso Δ x vai ser:

∆ x = π 2 - 0 4

Δ x = π 2   .   1 4

Δ x = π 8

Show! Agora nossa área será:

R 4 = π 8   .   f x 1 + f x 2 + f x 3 + f x 4

R 4 = π 8   .   c o s   π 8   + c o s   π 4 + c o s   3 π 8 + c o s   π 2

R 4 =   π 8   .   0,9239 + 0,7071 + 0,3827 + 0

R 4 =   0,7908

Como f está decrescendo no intervalo 0 , π 2 , nós tivemos um valor subestimado usando as aproximações extremas à direita R 4 .

Passo 2

Agora temos que repetir o que fizemos antes, mas com aproximações à esquerda, show?

Nosso gráfico vai ficar assim agora:

Calculando a área da função, vamos ter que:

L 4 = ∆ x   .   ∑ i = 1 4 f x i - 1

Nosso Δ x vai ser o mesmo de antes, mas vamos colocar aqui pra não esquecer:

∆ x = π 2 - 0 4

Δ x = π 2   .   1 4

Δ x = π 8

Estimando a área:

L 4 = π 8   .   f x 0 + f x 1 + f x 2 + f x 3

L 4 = π 8   .   1 + c o s   π 8 + c o s   π 4   + c o s   3 π 8

L 4 = π 8   .   1 + 0,9239 + 0,7071 + 0,3827

L 4 = 1,1835

Show de bola! O nosso L 4 é uma superestimação, beleza?

Conseguimos! Finalizamos!

Resposta

  1. R 4 =   0,7908 , tivemos um valor subestimado.
  2. L 4 = 1,1835 , tivemos um valor superestimado.
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