Enunciado

Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.

∫ - 1 5 1 + 3 x d x

Passo 1

Vamos lá, pelo Teorema 4 temos:

∫ a b f x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x

onde ∆ x = b - a n e x i = a + i ∆ x

Temos que então achar ∆ x e x i , pela integral já sabemos que a = - 1 e b = 5 , assim:

∆ x = 5 - - 1 n = 6 n

x i = - 1 + i ∆ x = - 1 + 6 i n

Pronto, agora podemos substituir:

∫ - 1 5 1 + 3 x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 + 3 - 1 + 6 i n 6 n = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 - 3 + 18 i n 6 n = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n - 2 + 18 i n 6 n

Passo 2

Agora vamos usar algumas regras de somatórios:

∑ i = 1 n c a i = c ∑ i = 1 n a i

∑ i = 1 n c = n c

∑ i = 1 n a i + b i = ∑ i = 1 n a i + ∑ i = 1 n b i

Temos então que:

∫ - 1 5 1 + 3 x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n - 2 + 18 i n 6 n = lim n → ∞ ⁡ 6 n ∑ i = 1 n - 2 + ∑ i = 1 n 18 i n = lim n → ∞ ⁡ 6 n - 2 n + 18 n ∑ i = 1 n i

Agora vamos usar a fórmula para soma de potência de inteiro positivo:

∑ i = 1 n i = n n + 1 2

Vamos aplicar então e resolver o limite:

∫ - 1 5 1 + 3 x d x = lim n → ∞ ⁡ 6 n - 2 n + 18 n ∑ i = 1 n i = lim n → ∞ ⁡ 6 n - 2 n + 18 n ∙ n n + 1 2 = lim n → ∞ ⁡ - 12 + 108 n ∙ n + 1 2 = lim n → ∞ ⁡ - 12 + 54 ∙ n + 1 n = lim n → ∞ ⁡ - 12 + 54 ∙ n + 1 n = lim n → ∞ ⁡ - 12 + 54 ∙ 1 + 1 n = - 12 + 54 = 42

Resposta

∫ - 1 5 1 + 3 x d x = 42

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