Enunciado

Encontre um valor de n que garanta que o erro absoluto na aproximação da integral com a aproximação pelo ponto médio seja inferior a 10 - 4 . Dê uma estimativa do erro absoluto e expresse suas respostas com pelo menos quatro casas decimais.

  ∫ 0 1 e cos ⁡ x d x

Passo 1

E aíííí, galerinha! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Vamos resolver da maneira mais trivial: apenas calculando a integral aplicando a fórmula da regra citada.

Assim, lembrando que a fórmula da aproximação pelo ponto médio é dada por:

M n = b - a n y m 1 + y m 2 + … + y m n

Podemos montar uma tabela para cada valor de y nos n subintervalos a fim de facilitar o nosso trabalho.

Para esse caso teremos os seguintes valores:

a = 0 ,   b = 1

Ainda, o software usado para calcular a integral será o WolframAlpha e o resultado obtido será comparado ao encontrado na regra em questão.

A fórmula da estimativa do erro para a aproximação pelo ponto médio é dada por:

E M ≤ b - a 3 K 2 24 n 2

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

∫ 0 1 e cos ⁡ x d x

Temos que o erro absoluto na aproximação seja:

E M < 10 - 4

Ou seja:

b - a 3 K 2 24 n 2 < 10 - 4

Onde K n é o valor máximo da n-ésima derivada da função integrando. Dessa forma, precisamos derivar duas vezes a função, tal que:

f x = e cos ⁡ x

Resulta em:

f ' x = - s e n x e cos ⁡ x

E, finalmente:

f ' ' x = - cos ⁡ x e cos ⁡ x + s e n 2 x e cos ⁡ x = e cos ⁡ x s e n 2 x - cos ⁡ x

No intervalo dado da integração [ 0 ,   1 ] , o valor máximo é dado por:

f ' ' x m á x = e cos ⁡ x s e n 2 x + cos ⁡ x

Em que o valor máximo de cada função modular no intervalo é:

cos ⁡ x ≤ 1 ,           s e n 2 x ≤ 1

Então:

f ' ' x m á x = K 2 = e 1 1 + 1 = 2 e

Logo, podemos descobrir o valor das subdivisões:

1 - 0 3 2 e 24 n 2 < 10 - 4

Portanto:

n 2 > 2 e 24 10 - 4

Ou seja:

n > 47,5944835

Como n precisa ser um inteiro par, o menor valor de subintervalos aceito será n = 48 .

Passo 3

Portanto, o erro absoluto dessa aproximação pode ser estimado por:

E M ≤ 2 e 24 4 8 2

Logo:

E M ≤ 9 , 8318 × 10 - 5

Resposta

n = 48

E M ≤ 9 , 8318 × 10 - 5

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