Enunciado

(a) Mostre que, tomando logaritmos, a função geral de Cobb-Douglas P = b L α K 1 - α pode ser expressa como

ln ⁡ P K = ln ⁡ b + α ln ⁡ L K

(b) Se tomarmos x = ln ⁡ L K e y = ln ⁡ P K , a equação da parte (a) se tornará uma equação linear y = α x + ln ⁡ b . Utilize a Tabela 2 (do Exemplo 3) para fazer uma tabela de valores de ln ⁡ L K e ln ⁡ P K para os anos de 1899-1922. Use então um computador ou calculadora gráfica para achar, pelo método dos mínimos quadrados, a reta de regressão pelos pontos ln ⁡ L K , ln ⁡ P K .

(c) Deduza que a função de produção de Cobb-Douglas é P = 1,01 L 0,75 K 0,25 .

Passo 1

(a) Galera, vamos partir da equação que define a função de Cobb-Douglas e tomar o logaritmo de ambos os lados:

P = b L α K 1 - α

ln ⁡ P = ln ⁡ b + ln ⁡ L α + ln ⁡ K 1 - α

ln ⁡ P = ln ⁡ b + α ln ⁡ L + 1 - α ln ⁡ K

ln ⁡ P - ln ⁡ K = ln ⁡ b + α ln ⁡ L - α ln ⁡ K

ln ⁡ P K = ln ⁡ b + α ln ⁡ L K

Passo 2

(b) Agora vamos fazer uma tabela de valores de ln ⁡ L K e ln ⁡ P K para os anos de 1899-1922:

Fazendo uma regressão linear por meio de um CAS, obtemos a seguinte reta:

y = 0,75136 x + 0,01053

Vamos arredondar assim:

y = 0,75 x + 0,01

Passo 3

(c) Se compararmos a equação da reta obtida no passo anterior por regressão linear com y = α x + ln ⁡ b , descobrimos que:

α = 0,75

ln ⁡ b = 0,01 ⇒ b = e 0,01 ≈ 1,01

Então, substituindo os valores encontrados de cada parâmetro da função de produção de Cobb-Douglas, obtemos:

P = b L α K 1 - α

P = 1,01 L 0,75 K 0,25

Resposta

(b) y = 0,75 x + 0,01

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o gráfico da função. f x , y = 4 - 4 x 2 - y 2
Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível. f x , y = ln ⁡ ( x 2 + 4 y 2 )
Utilize um computador para traçar o gráfico da função usando vários domínios e pontos de vista. Imprima a que, em sua opinião, oferece a melhor visão. Se seu programa também produz curvas de nível, tr
Descreva as superfícies de nível da função. f x , y , z = y 2 + z 2
Utilize um computador para traçar o gráfico da função usando vários domínios e pontos de vista. Imprima a que, em sua opinião, oferece a melhor visão. Se seu programa também produz curvas de nível, tr