Enunciado

Uma estrada tem a configuração da parábola 120 y = x 2 . Um caminhão está carregado de tal modo que irá tombar se a componente normal da aceleração exceder 30 . Que valores da velocidade garantirão uma passagem sem desastre pelo vértice da parábola?

Passo 1

E aí, pessoal!! Bora pra mais um exercício com o Responde Aí? Vem com a gente :D

Pra começarmos esse exercício, precisamos lembrar do conceito de curvatura e do raio de curvatura. Na seção 1.3 do livro Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis - 1ª Ed., a Definição 1.5 (página 18 ) nos dá as fórmulas aplicadas ao movimento:

σ t = x t ,   y t é o vetor posição;

σ ' t = V t = x ' t ,   y ' t é o vetor velocidade;

σ ' ' t = A t = x ' ' t ,   y ' ' t é o vetor aceleração;

Visto que os vetores velocidade e aceleração terão as formas:

V t = d x d t , d y d t

E:

A t = d 2 x d t 2 , d 2 y d t 2

Primeiro precisamos parametrizar o vetor posição para poder encontrar esses dois outros vetores.

Já que o enunciado nos deu a informação sobre a componente normal da aceleração, precisamos determinar o módulo do vetor aceleração e a sua componente tangencial para encontrarmos e comparar os valores dado e calculado da componente normal. Isso pode ser feito através da fórmula:

A t 2 = A T 2 + A N 2

Ainda, temos algumas fórmulas a serem lembradas como a velocidade escalar:

v t = V t

E a componente tangencial da aceleração:

A T = v ' t

Que irão nos ajudar com os cálculos.,

Passo 2

Então, primeiro vamos parametrizar o vetor posição, supondo:

x t = t

E, logo:

120 y = x 2 → y t = t 2 120

Então, teremos o vetor posição:

σ t = t , t 2 120

Tal que o vetor velocidade será a sua respectiva derivada:

V t = σ ' t = 1 , t 60

Da mesma forma, o vetor aceleração será a derivada do vetor velocidade, ou seja:

A t = V ' t = 0 ,   1 60

Passo 3

Como dito no primeiro passo, a velocidade escalar é dada por:

v = V t

Então, o módulo do vetor velocidade é:

v = 1 2 + t 60 2

Logo:

v = 1 + t 2 3600

Igualando o denominador:

v = t 2 + 3600 3600

Temos, então:

v = 1 60 t 2 + 3600

Vamos reescrever esse resultado como:

60 v = t 2 + 3600

Isso irá nos ajudar ao final do exercício!!

Com a equação da velocidade escalar podemos encontrar a componente tangencial da aceleração com:

A T = v ' = 1 60 2 t 2 t 2 + 3600  

Logo:

A T = t 60 t 2 + 3600

Passo 4

Agora, vamos encontrar o módulo do vetor aceleração:

A t = 0 2 + 1 60 2

Portanto:

A t = 1 60

Com isso, podemos verificar o valor da componente normal a partir da fórmula:

A t 2 = A T 2 + A N 2

Que, substituindo os termos que encontramos, fica como:

1 60 2 = t 60 t 2 + 3600 2 + A N 2

Isolando A N :

A N 2 = 1 3600 - t 2 3600 t 2 + 3600

Igualando o denominador:

A N 2 = t 2 + 3600 - t 2 3600 t 2 + 3600

Ou seja:

A N 2 = 3600 3600 t 2 + 3600

E, portanto:

A N = 1 t 2 + 3600 = 1 t 2 + 3600

Passo 5

Por fim, vamos lembrar que a condição para o caminhão não tombar na estrada é dada por:

A N ≤ 30

Então, teremos:

A N = 1 t 2 + 3600 ≤ 30

E, portanto:

30 t 2 + 3600 ≥ 1

Resposta

30 t 2 + 3600 ≥ 1

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