Enunciado

Uma partícula se move ao longo de uma curva plana com velocidade escalar constante 5 . No instante t = 0 ela está na origem V 0 = 0 ,   5 e nunca se move à esquerda do eixo y . Em cada instante t a curvatura da curva é k t = 2 t . Se α t denota o ângulo que o vetor velocidade faz com o eixo positivo dos x em cada instante t , determine:

a   α t explicitamente como função de t .

b O vetor velocidade V t .

Passo 1

E aí, pessoal!! Bora pra mais um exercício com o Responde Aí? Vem com a gente :D

Vamos lembrar um pouco sobre a definição da curvatura k de uma curva. Podemos definir ela como a variação da direção da curva ao longo do seu comprimento.

Ainda em um plano bidimensional (como é o caso do nosso exercício já que a curva é plana), a curvatura total K pode ser interpretada como a magnitude da taxa de variação do ângulo Δ θ em relação à posição s , tal que, matematicamente isso é escrito como:

K = Δ θ = ∫ s 0 s 1 k d s

Como a curvatura foi parametrizada em função de t , precisamos mudar a variável de integração. Então, podemos fazer:

Δ θ = ∫ t 0 t 1 k d s d t d t

Lembrando que a derivada da posição em relação ao tempo resulta na velocidade, podemos reescrever a curvatura total:

Δ θ = ∫ t 0 t 1 k v d t

Passo 2

Além disso, a partícula sai inicialmente da origem e permanece apenas do lado direito do eixo y . Isso significa que o ângulo α t entre o vetor velocidade e o eixo + x estará limitado ao primeiro quadrante, ou seja, em [ 0 ,   π / 2 ] .

Por conta da variação da curvatura, esse ângulo terá o valor:

α t = π 2 - Δ θ

Ou seja:

α t = π 2 - ∫ t 0 t 1 k v d t

Como queremos deixar o ângulo em função de t podemos substituir a integral definida por uma integral indefinida:

α t = π 2 - ∫ k v d t

Passo 3

Portanto, substituindo os valores da curvatura e da velocidade escalar dados, teremos:

α t = π 2 - ∫ 2 t 5 d t

Isso nos dá:

α t = π 2 - 5 ∫ 2 t d t

Dessa forma, o ângulo é:

α t = π 2 - 5 t 2

Resposta

α t = π 2 - 5 t 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam a → e b → dois vetores constantes. Determinar o vetor velocidade da partícula cujo movimento é descrito por:a) r 2 → t = a → t 2 + b → t
Se r → t é o vetor posição de uma partícula em movimento, mostrar que o vetor velocidade da partícula é perpendicular a r → t .a) r → t = cos ⁡ t ,s e n t
Sejam a → e b → dois vetores constantes. Determinar o vetor velocidade da partícula cujo movimento é descrito por:a) r 1 → t = a → + t b →
A posição de uma partícula em movimento no plano, no tempo t , é dado por x t = 1 2 t - 1 y t = 1 4 t 2 - 2 t + 1 Escrever a função vetorial f → t que descreve o movimento dessa partícula.Determinar o
Determinar um vetor tangente à curva definida pela função dada no ponto indicado. h → t = s e n t , cos ⁡ t ,t , P 1,0 , π 2