Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.8 - Ex. 40
Quando estudam a formação de cordilheiras, os geólogos estimam a quantidade de trabalho necessária para erguer uma montanha a partir do nível do mar. Considere uma montanha que tenha essencialmente o formato de um cone circular reto. Suponha que a densidade do material na vizinhança de um ponto seja e a altura seja
- Determine a integral definida que representa o trabalho total exercido para formar a montanha.
- Assuma que o monte Fuji no Japão tenha o formato de um cone circular reto com raio de , altura e densidade constante de . Quanto trabalho foi feito para formar o monte Fuji se a terra estivesse inicialmente ao nível do mar?
Passo 1
Olá, tudo bem? O trabalho total vai ser igual à força gravitacional , onde é a massa total, é a altura e é a gravidade que, ao nível do mar, é .
Para elevar um pedacinho do monte até um ponto , vamos ter:
Se quisermos saber o trabalho, é só integrar em todo volume:
Passo 2
Digamos agora que a montanha tem a forma de um cone, podemos fazer um desenho da fatia lateral da relação entre a altura total e do raio grande com algum ponto intermediário com altura e raio :
Como é um cone circular reto, podemos fazer a seguinte comparação:
Assim a distância em termos da altura é:
Dada a densidade constante de , a altura máxima e raio máximo , o volume vai ser, em coordenadas cilíndricas:
E o diferencial de volume é
Agora é só juntar tudo isso na integral do volume!
Aplicando os limites temos:
Fazendo a integração em relação à temos:
Aplicando simplificando dentro dos colchetes e fazendo a integração em temos:
Agora é só substituir os valores de e :