Enunciado

Quando estudam a formação de cordilheiras, os geólogos estimam a quantidade de trabalho necessária para erguer uma montanha a partir do nível do mar. Considere uma montanha que tenha essencialmente o formato de um cone circular reto. Suponha que a densidade do material na vizinhança de um ponto P seja g ( P ) e a altura seja h P .  

  1. Determine a integral definida que representa o trabalho total exercido para formar a montanha.
  2. Assuma que o monte Fuji no Japão tenha o formato de um cone circular reto com raio de 19000 m , altura 3800 m e densidade constante de 3200 k g / m 3 . Quanto trabalho foi feito para formar o monte Fuji se a terra estivesse inicialmente ao nível do mar?

Passo 1

Olá, tudo bem? O trabalho total vai ser igual à força gravitacional W = F g = m g h , onde m é a massa total, h é a altura e g é a gravidade que, ao nível do mar, é 9,8 m / s 2 .

Para elevar um pedacinho d m = g ( P ) d V do monte até um ponto P , vamos ter:

d W = 9,8 . g P h ( P ) d V

Se quisermos saber o trabalho, é só integrar em todo volume:

W = 9,8 ∭ V g P h ( P ) d V

Passo 2

Digamos agora que a montanha tem a forma de um cone, podemos fazer um desenho da fatia lateral da relação entre a altura total H e do raio grande R com algum ponto intermediário com altura z e raio r :

Como é um cone circular reto, podemos fazer a seguinte comparação:

r R = H - z H = 1 - z H

Assim a distância r em termos da altura é:

r = 1 - z H R

Dada a densidade constante de g = 3200 k g / m 3 , a altura máxima H = 3800 m e raio máximo R = 19000 m , o volume vai ser, em coordenadas cilíndricas:

0 ≤ r ≤ 1 - z H R 0 ≤ z ≤ H 0 ≤ θ ≤ 2 π

E o diferencial de volume é d V = r d r d z d θ

Agora é só juntar tudo isso na integral do volume!

W = 9,8 ∭ V g P h P d V = 9,8 . g ( P ) ∭ V z . r d r d z d θ

W = 9,8 g P ∫ 0 2 π ∫ 0 H ∫ 0 R 1 - z H z r d r d z d θ = 9,8 g ( P ) ∫ 0 2 π ∫ 0 H z . r 2 2 0 R 1 - z H d z d θ

Aplicando os limites temos:

W = 9,8 g P ∫ 0 2 π ∫ 0 H z R 2 2 1 - z H 2 d z d θ = 9,8 g P R 2 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 H z - 2 z 2 H + z 3 H 2 d z d θ

Fazendo a integração em relação à z temos:

W = 9,8 g P R 2 2 ∫ 0 2 π z 2 2 - 2 z 3 3 H + z 4 4 H 2 0 H d θ = 9,8 g P R 2 2 H 2 2 - 2 H 2 3 + H 2 4 ∫ 0 2 π d θ

Aplicando simplificando dentro dos colchetes e fazendo a integração em θ temos:

W = 9,8 g P R 2 2 . H 2 12 . 2 π

Agora é só substituir os valores de H ,   g P   e R :

W = 9,8.3200 . 19000 2 . 3800.2 π 24 = 4,27.10 19 J

Resposta

( a ) W = 9,8 ∭ V g P h ( P ) d V

( b ) 4,27.10 19 J

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