Enunciado

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Um estudante alega que sempre que a aproximação linear local é utilizada para aproximar a raiz quadrada de um número, a aproximação resultante é muito grande.

(a) Escreva algumas frases precisando a alegação do estudante e justifique a alegação geometricamente.

(b) Verifique a alegação do estudante algebricamente usando a aproximação (1)

Passo 1

(a)

Como a função y = x não altera muito sua curvatura, quando aproximamos ela pra uma reta em algum ponto, essa reta fica muito próxima da curva nas redondezas do ponto, o que garante aproximações muito boas. Veja na imagem:

Passo 2

(b)

A aproximação (1) nos diz que:

f x ≈ f x 0 + f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Usando f x = x

f ' x = x ' = 1 2 x

Então:

x ≈ x 0 + 1 2 x ( x - x 0 )

Passo 3

Se olharmos pro erro da aproximação:

e r r o = | v a l o r   r e a l - v a l o r   a p r o x i m a d o |

e r r o = | x - x 0 + 1 2 x x - x 0 |

Como para valer a aproximação, temos que pegar um x bem próximo de x 0 ,

x - x 0   é   m u i t o   p e q u e n o

E além disso, para valores maiores de   x a função tem uma inclinação pequena, nesses casos:

x - √ x 0     é   m u i t o   p e q u e n o

Então:

e r r o ≈ 0

PS: perceba que esse erro é muito pequeno principalmente para valores de x maiores.

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