Enunciado

Verifique a aproximação linear dada em a = 0 . A seguir, determine os valores de x   para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1 .

l n ⁡ ( 1 + x ) ≈ x

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar que a aproximação linear de f x = l n ⁡ ( 1 + x ) , em a = 0 , é aproximadamente x . Além disso, ele pediu pra gente determinar um intervalo de valores de x para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1 .

Pra isso, a gente precisa lembrar que a reta tangente é a reta que melhor aproxima uma função em um ponto. E que por isso a fórmula da aproximação linear é bem parecida com a equação da geral reta, olha só:

L x = f a + f ' ( a ) ( x - a )

Então, o que nós vamos fazer é calcular uma aproximação linear para f ( x ) , com a = 0 , usando essa fórmula, e verificar se o resultado é mesmo x . Depois, para que a gente tenha uma aproximação linear com precisão de 0,1 , vamos colocar o resultado da aproximação dentro desse intervalo:

ln ⁡ 1 + x - 0,1 < x < ln ⁡ ( 1 + x ) + 0,1

E a partir daí encontrar o intervalo de x que atende essas condições.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos verificar a aproximação pela fórmula de linearização. Então, temos:

f x ≈ f a + f ' ( a ) ( x - a )

Assim, primeiro vamos calcular a derivada da função f x = l n ⁡ ( 1 + x ) , que vai ser dada por:

f ' x = 1 1 + x

Daí, temos f 0 = 0 e f ' 0 = 1 . Então, substituindo na fórmula, vamos obter:

f x ≈ 0 + 1 x - 0

f ( x ) ≈ x

Portanto, a aproximação linear é verdadeira e está verificada.

Passo 3

Agora para que tenha uma aproximação linear com precisão de 0,1 precisamos que:

ln ⁡ 1 + x - 0,1 < x < ln ⁡ ( 1 + x ) + 0,1

Calculando a exponencial em todos os termos:

e l n 1 + x - 0,1 < e x < e l n 1 + x + 0,1

Temos:

1 + x - e 0,1 < e x < 1 + x + e 0,1  

Isolando x nessa equação, vamos obter:

- 0,388 < x < 0,516

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f ( x ) ≈ x

- 0,388 < x < 0,516

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