Enunciado

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No Exemplo 4 consideramos um membro da família de funções f x = sin ⁡ ( x + sin ⁡ c x ) que ocorre na síntese de FM. Aqui investigamos a função com c = 3 . Comece fazendo o gráfico de f na janela inspeção [ 0 , π ] por { - 1,2 ,   1,2 ] .Quantos pontos de máximo locais você pode ver? O gráfico tem mais informações do que podemos perceber a olho nu. Para descobrir os pontos de máximo e mínimo escondidos será necessário examinar muito cuidadosamente o gráfico f ' . De fato, ajuda examinar ao mesmo tempo o gráfico de f ' ' . Encontre todos os valores máximo e mínimo e os pontos de inflexão. Então faça o gráfico de f na janela retangular [ - 2 π , 2 π ] por [ - 1,2 ,   1,2 ] e comente sobre a simetria.

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar todos os valores de máximo e mínimo e os pontos de inflexão do membro da família de funções. Para isso, iremos fazer gráficos da função na janela de inspeção para auxiliar a ver os pontos. Devemos também esboçar um gráfico na janela retangular [ - 2 π , 2 π ] por [ - 1,2 ,   1,2 ] .

Passo 2

Fazendo o gráfico de f ( x ) , f ' ( x ) e f ' ' ( x ) , temos

Olhando para o gráfico de f ( x ) , podemos ver dois pontos de máximo e dois pontos de mínimo. Vendo o gráfico de f ' ' ( x ) , podemos concluir que f ' ' ( x ) cruza o eixo x em dois pontos próximos a x = 0.65 , mostrando que muda de concavidade em um curto intervalo. No gráfico de f ' ( x ) , podemos ver uma mudança de sinal que ocorre três vezes próximo a x = 0.65 , indicando que possuímos três valores, dois de máximo e um de mínimo. Os valores de máximo são f 0.59 = 1 e f 0.68 = 1 e o valor de mínimo é f 0.64 = 0.99996 . Também temos valores de máximo em f 1.96 = 1 e de mínimo em f 1.46 = 0.49 e f 2.73 = - 0.51

Passo 3

Os pontos de inflexão estão em ( 0.61 ,   0.099998 ) , ( 0.66 ,   0.99998 ) , ( 1.17 ,   0.72 ) , ( 1.75 ,   0.77 ) e ( 2.28 ,   0.34 ) em torno de [ 0 ,   π ] . Em [ π ,   2 π ] , os pontos estão em ( 4.01 ,   - 0.34 ) , ( 4.54 ,   - 0.77 ) , ( 5.11 ,   - 0.72 ) , ( 5.62 ,   - 0.99998 ) e ( 5.67 ,   - 0.99998 ) . A função é periódica com período 2 π e simétrica em relação ao eixo y .

Resposta

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Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ como foi feito nos Exercícios 4 - 11 . Você pode sugerir uma fórmula para f ‘ ( x ) a partir de seu gráfico? f x...
Seja f x = x 2 .Estime os valores de f ' ( 0 ) ,   f ' 1 2 ,   f ' ( 1 ) e f ' ( 2 ) fazendo uso de uma ferramenta gráfica para fazer um zoom no gráfico de f .Use a simetria para d...
Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ como foi feito nos Exercícios 4 - 11 . Você pode sugerir uma fórmula para f ‘ ( x ) a partir de seu gráfico? f x...
Associe o gráfico de cada função em (a)-(d) com o gráfico de sua derivada em I-IV. Dê razões para suas escolhas.
Trace o gráfico da função f x = { x 2   ,       - 1 ≤ x < 0 - x 2     ,       0 ≤ x ≤ 1 f   é contínua em x   =   0   ? f é derivável em x   =   0   ?
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = x 2     ,   - 3 ≤ x ≤ 2
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f t = 1 t       ,   0 < 1 < t
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = 3 - 2 x     ,   x ≤ 5
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = 8 - 3 x     ,   x ≥ 1
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = e x
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = 4 - x 2                 s e - 2 ≤ x < 0 2 x - 1       s ...
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = 1 + x + 1 2     ,   - 2 ≤ x < 5