Enunciado

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No Exercício 13 , na Seção 9.1 , formulamos um modelo para o aprendizado na forma da equação diferencial

d P d t = k M - P

onde P ( t ) mede o desempenho de alguém aprendendo uma habilidade depois de um tempo de treinamento t   ,   M é o nível máximo de desempenho e k é uma constante positiva. Resolva essa equação diferencial para encontrar uma expressão para P ( t ) . Qual é o limite dessa expressão?

Passo 1

Bom, galera. Aqui nem precisamos voltar ao Exercício 13 , o próprio enunciado já nos deu as informações necessárias. Nós teremos que resolver a a equação diferencial:

d P d t = k M - P

Parece que tem mil variáveis nela, mas o enunciado nos contou que M e k são constantes, pois não dependem do tempo. Ufa!

Passo 2

Mas agora, como resolver essa equação? Será que ela é do tipo separável? Então vamos fazer uma tentativa de jogar tudo que é de P para um lado, e tudo que é de t para o outro, assim como a gente fazia com x e y :

d P d t = k M - P

1 M - P   d P = k   d t

Legal! Conseguimos! Bora então integrar cada lado, não esquecendo de acrescentar a constante de integração:

∫ 1 M - P   d P = ∫ k   d t + C

Pra resolver a integral da esquerda, vamos usar a substituição U = M - P ,     d U = - d P   :

∫ - 1 U   d U = k t + C

- ln ⁡ U = k t + C

U = e - k t + C

U = C e - k t

M - P = C e - k t

Passo 3

Beleza! Mas ainda temos um problema, a constante de integração! Ela não foi fornecida pelo enunciado junto com as outras constantes, então nossa resposta não pode depender dela.

Então a gente volta no enunciado, e tenta achar um valor inicial dado. Mas pera, onde tá escrito isso? Mesmo se você voltar no exercício original 13 , você não vai encontrar essa informação de maneira explícita.

Quando isso acontece, o negócio é usar a nossa lógica, a nossa intuição. Pensa assim, se você nunca tentou fazer malabarismo com cinco bolas ao mesmo tempo, qual vai ser o seu desempenho quando tentar pela primeira vez? Provavelmente vai ser um desastre, né?! Então a gente pode supor, que quando o tempo de treinamento t = 0 , nosso desempenho P   também é 0 . Agora bora jogar esses valores na solução:

M - P = C e - k t

M - 0 = C e - k .   0

M = C .   1

C = M

Pronto! Nossa solução fica assim:

M - P = M e - k t

P = M - M e - k t

P t = M ( 1 - e - k t )

Passo 4

Beleza! No final ele nos pergunta qual o limite da expressão de P ( t ) . Ou seja, à medida que for passando muito tempo, de qual valor P ( t ) se aproxima? Pra isso, a gente calcula o limite de P ( t ) quando t → ∞ :

lim t → ∞ ⁡ M 1 - e - k t = M 1 - 0 = M

Cara, isso faz muito sentido! À medida que a gente vai treinando cada vez mais malabarismo, mais a gente vai chegando à perfeição, ao nível máximo de desempenho M !

Resposta

P t = M ( 1 - e - k t )

Limite de P ( t ) :   M

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