Enunciado

Um tanque contém 1000   L de água pura. Água salgada com 0,05   k g de sal por litro de água entra no tanque a uma taxa de 5   L / m i n . Água salgada com 0,04   k g de sal por litro de água entra no tanque a uma taxa de 10   L / m i n . A solução é mantida completamente misturada e sai do tanque a uma taxa de 15   L / m i n . Quanto sal há no tanque

(a) depois de t minutos e

(b) depois de uma hora?

Passo 1

Beleza, galera? Aqui a gente tem um tanque com água pura inicialmente, e vamos adicionar duas soluções de água e sal, ao mesmo tempo em que vamos retirando parte da mistura, de forma que o volume do tanque sempre permanece constante. Deu pra entender? É como se fossem duas torneiras abertas num tanque, com o ralo destampado.

Nossa missão aqui é buscar montar uma equação diferencial que descreva essa situação, pra então resolvê-la e acharmos nossas respostas.

Passo 2

Vamos chamar de x a quantidade de sal no tanque, então d x d t é a variação dessa quantidade no tempo. Como tá entrando e saindo sal, essa variação vai ser a quantidade que tá entrando por tempo menos a quantidade que tá saindo por tempo:

d x d t = t a x a   d e   e n t r a d a   d e   s a l -   t a x a   d e   s a í d a   d e   s a l

Mas agora, que taxas são essas? Será que devíamos somar as duas taxas de entrada das soluções e subtrair a taxa de saída da mistura?

NÃO! Pois isso seriam as taxas de soluções de água com sal, não somente do sal. A gente precisa saber o quanto de cada solução corresponde a sal, ou seja, usamos a concentração:

t a x a   d e   s a l = c o n c e n t r a ç ã o   d e   s a l   n a   s o l u ç ã o × t a x a   d a   s o l u ç ã o

Lembrando que as concentrações das duas soluções de entrada foram fornecidas pelo enunciado e a concentração da mistura que sai é justamente a concentração do tanque x t 1000   L :

d x d t = 0,05   k g L × 5   L m i n   +   0,04   k g L × 10   L m i n   - x t 1000   L × 15   L m i n

d x d t = 0,25 + 0,4 - 0,0 15 x

d x d t = 0,65 - 0,0 15 x

Passo 3

(a) Show! Agora vamos resolver a equação diferencial pra achar x t , que é o que esse item tá pedindo. Ela é do tipo separável, então só separa cada variável de um lado e integra:

d x d t = 0,015   0,65 0,015 - x

d x d t = 3 200   130 3 - x

1 130 3 - x   d x = 3 200   d t

∫ 1 130 3 - x   d x = ∫ 3 200   d t + C

- ln ⁡ 130 3 - x = 3 t 2 00 + C

130 3 - x = e - 3 t 200 + C

130 3 - x = C e - 3 t 200

Sabemos que a quantidade inicial de sal era nula, pois só havia água pura, então usamos x 0 = 0 pra achar a constante:

130 3 - 0 = C e - 3   .   0 200

C = 130 3

Agora estamos pronto pra achar quem é x t   :

130 3 - x = 130 3   e - 3 t 200

x t = 130 3   1 - e - 3 t 200

Passo 4

(b) Show! No passo anterior a gente encontrou a quantidade de sal no tanque em função do tempo, então, pra descobrir qual vai ser a quantidade depois de uma hora é só calcular x 60 , pois nossos cálculos foram feito para t em minutos, beleza?

x 60 = 130 3 1 - e - 3   .   60 200

x 60 = 130 3   1 - e - 0,9 ≈ 25,7

Então depois de uma hora já teremos aproximadamente 25,7   k g de sal no tanque, beleza?

Resposta

(a)   x t = 130 3   1 - e - 3 t 200

(b) 130 3   1 - e - 0,9 ≈ 25,7   k g

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Determine, caso existam, as soluções constantes. 3 . d x d t = t ( 1 + x 2 )
Determine, caso existam, as soluções constantes. 5 . d x d t = t 2 - 1 x
Determine, caso existam, as soluções constantes. 1 . d x d t = t x 2
Determine, caso existam, as soluções constantes. 2 . d x d t = x 2 - x
Determine, caso existam, as soluções constantes. 6 . d x d t = x 2 - 1 t